Selamat datang, Kali ini kita akan berbagi tentang Nilai Ekstrem Suatu Fungsi . Silahkan dibaca baik-baik tentang Nilai Ekstrem Suatu Fungsi ini ya.
Nilai Ekstrim Suatu Fungsi
Dalam kalkulus, sering kita diminta untuk menentukan karakteristik suatu fungsi f pada selang I. Apakah f memiliki nilai maksimum pada I? Apakah f memiliki nilai minimum pada I? Di manakah fungsi tersebut naik? Di manakah fungsi tersebut turun? Pada pembahasan ini kita akan menggunakan turunan untuk mencoba menjawab sebagian pertanyaan-pertanyaan tersebut.
Definisi Nilai Ekstrim
Misalkan f terdefinisi pada selang I yang memuat c.
- f(c) merupakan nilai minimum f pada I jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x dalam I.
- f(c) merupakan nilai maksimum f pada I jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x dalam I.
Nilai minimum dan maksimum suatu fungsi pada selang tertentu disebut sebagai nilai ekstrim suatu fungsi pada selang tersebut. Nilai minimum dan maksimum suatu fungsi pada selang tertentu juga disebut sebagai nilai minimum mutlak dan nilai maksimum mutlak pada selang tersebut. Nilai ekstrim suatu fungsi dapat terjadi pada ujung selang. Nilai ekstrim yang terjadi pada ujung selang disebut nilai ekstrim ujung.
Suatu fungsi tidak harus memiliki nilai minimum atau maksimum pada selang tertentu. Sebagai contoh, pada gambar (1) dan (2) di atas, kita dapat melihat bahwa fungsi f(x) = x² + 1 memiliki minimum dan maksimum pada selang tutup [–1, 2], tetapi tidak memiliki maksimum pada selang buka (–1, 2). Selain itu, pada gambar (3), kita dapat melihat bahwa kekontinuan dapat mempengaruhi keberadaan nilai ekstrim pada suatu selang. Hal ini menghasilkan teorema berikut.
Teorema 1 Teorema Nilai EkstrimJika f kontinu pada selang tutup [a, b], maka f memiliki nilai minimum dan maksimum pada selang tersebut.
Teorema Nilai Ekstrim di atas dapat disebut sebagai teorema keberadaan karena teorema tersebut hanya menyebutkan keberadaan nilai minimum dan maksimum, tetapi tidak menunjukkan bagaimana menentukan nilai-nilai tersebut.
Nilai Ekstrim Lokal dan Nilai Kritis
Pada gambar di bawah ini, grafik f(x) = x³ – 3x² memiliki maksimum lokal pada titik (0, 0) dan minimum lokal pada titik (2, –4). Secara tidak formal, untuk suatu fungsi kontinu, kita dapat berpikir bahwa maksimum lokalnya berada pada “bukit” grafik, dan minimum lokalnya terletak pada “lembah” grafik. Bukit dan lembah seperti itu dapat terjadi dalam dua cara. Ketika bukit atau lembah tersebut halus, grafik fungsi yang memuat bukit atau lembah tersebut memiliki garis singgung horizontal pada puncak bukit atau lembah tersebut. Ketika bukit atau lembah tersebut tajam, grafik fungsi yang memuatnya tidak akan memiliki turunan pada puncak bukit atau lembah tersebut.
Definisi Nilai Ekstrim Lokal
- Jika ada selang buka yang memuat c sedemikian sehingga f(c) merupakan nilai maksimum, maka f(c) disebut maksimum lokal f, atau kita dapat menyatakan bahwa fmemiliki maksimum lokal pada (c, f(c)).
- Jika ada selang buka yang memuat c sedemikian sehingga f(c) merupakan nilai minimum, maka f(c) disebut minimum lokal f, atau kita dapat mengatakan bahwa fmemiliki minimum lokal pada (c, f(c)).
Maksimum lokal dan minimum lokal secara berturut-turut kadang disebut sebagai maksimum relatif dan minimum relatif
No comments:
Post a Comment