Rumus Menghitung Jarak Antara titik dan Garis

Jarak merupakan salah satu permasalahan matematika yang sering dijumpai di sekitar kita. Jarak dapat diukur di antara dua objek, seperti rumah dengan kantor pos, rumah sakit dengan jalan raya, dan jalan raya dengan jalan raya lainnya. Pada pembahasan ini hanya akan dibahas mengenai jarak antara dua objek yang berupa titik dan garis lurus. Perhatikan contoh permasalahan berikut.

Seperti terlihat pada gambar di atas, Vihara Dharma Agung terletak pada koordinat (71, 76) dan Jalan Sungai Kelara berupa garis lurus dengan persamaan 5x – 8y – 280 = 0 (satuan dalam meter). Bagaimana cara mengukur jarak antara vihara dengan jalan tersebut? Salah satunya adalah dengan menggunakan rumus jarak antara titik dengan garis lurus.

Menemukan Rumus Jarak Titik dengan Garis

Misalkan akan ditentukan jarak antara titik A(a, b) dengan garis lurus yang memiliki persamaan px + qy + r = 0. Perhatikan gambar berikut.

Perlu diingat bahwa jarak dua objek adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan kedua objek tersebut. Karena ruas garis yang tegak lurus dengan garis px+ qy + r = 0 dan memiliki ujung di titik A dan ujung satunya di garis tersebut merupakan lintasan terpendek yang menghubungkan titik dan garis tersebut, maka panjang dari ruas garis tersebut, yaitu d, adalah jarak titik A terhadap garis px + qy + r = 0.

Karena px + qy + r = 0 ó y = −(p/q)x – (r/q) maka gradien garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 adalah q/p, karena −(p/q) × q/p = −1. Selain tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0, garis tersebut juga melalui titik A(a, b), sehingga

Diperoleh, persamaan garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 dan melalui titikA(a, b) adalah

Setelah persamaan garisnya diperoleh, titik potong garis px + qy + r = 0 dan garis tersebut dapat ditentukan. Pertama, tentukan nilai absisnya, x2,  terlebih dahulu.

Selanjutnya, kita tentukan nilai dari ordinatnya (y2).

Setelah koordinat (x2, y2) sudah ditemukan, maka selanjutnya kita tentukan jarak antara titik tersebut dengan titik A(a, b), dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,

Agar lebih sederhana, kita tentukan x2 – x1 dan y2 – y1 terlebih dahulu, yaitu

dan,

Sehingga jarak antara titik (x2, y2) dan A(a, b) dapat ditentukan sebagai berikut.

Sehingga kita telah memperoleh rumus untuk menentukan jarak antara suatu titik dengan garis lurus, yang dapat dituliskan seperti berikut.

Jarak antara titik yang memiliki koordinat (a, b) dengan garis lurus yang persamaannya px + qy + r = 0, adalah

Setelah kita menentukan rumusnya, sekarang kita akan coba untuk menghitung jarak antara Vihara Dharma Agung dan Jalan Sungan Kelara pada permasalahan di awal.

Jadi, jarak antara Vihara Dharma Agung dan Jalan Sungan Kelara adalah sekitar 56,5 meter. Selanjutnya perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal: Menentukan Jarak antara Titik dan Garis Lurus

Tentukan jarak antara titik yang memiliki koordinat (−2, 3) dan garis yang memiliki persamaan 3x – 4y – 7 = 0.

Pembahasan Substitusi a = −2, b = 3, p = 3, q = −4, dan r = −7 ke rumus jarak titik dan garis.

Jadi, jarak antara titik yang memiliki koordinat (−2, 3) dan garis yang memiliki persamaan 3x – 4y – 7 = 0 adalah 5 satuan panjang. 

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Perhatikan bahwa √X merupakan bilangan real jika dan hanya jika X ≥ 0. Karena selesaian persamaan kuadrat memuat bentuk akar √(b2 – 4ac), bentuk aljabar b2 – 4ac, yang disebut diskriminan, akan menentukan sifat dan banyaknya selesaian/akar dari persamaan kuadrat yang diberikan.

Diskriminan dari Persamaan Kuadrat

Untuk ax2 + bx + c = 0, dengan a ≠ 0,

1. Jika b2 – 4ac = 0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki satu selesaian bilangan real.
2. Jika b2 – 4ac > 0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua selesaian bilangan real.
3. Jika b2 – 4ac < 0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua selesaian bilangan kompleks.

Catatan Bilangan kompleks adalah bilangan yang dapat dinyatakan ke dalam a + bi, dengan a dan b bilangan real, dan i = √(–1). Misalnya, 1 + √(–8) adalah bilangan kompleks karena 1 + √8 ∙ √–1 = 1 + 2√2 i. Karena semua bilangan real dapat dinyatakan ke dalam bentuk a + bi (dengan b = 0), maka himpunan bilangan real merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan kompleks.

Dengan menganalisis secara lebih jauh mengenai diskriminan akan diperoleh beberapa sifat dari persamaan kuadrat tertentu. Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan rasional dan diskriminannya merupakan bilangan kuadrat tidak nol, maka akan ada dua akar rasional dari persamaan tersebut. Atau dengan kata lain, persamaan kuadrat tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan pemfaktoran. Jika diskriminannya bukan bilangan kuadrat, maka akan ada dua akar yang sekawan. Dan jika diskriminannya nol, maka akan ada satu akar yang merupakan bilangan rasional, dan persamaan kuadratnya merupakan kuadrat dari binomial.

Contoh: Menggunakan Diskriminan untuk Analisis Selesaian

Gunakan diskriminan untuk menganalisis persamaan-persamaan kuadrat berikut apakah memiliki akar bilangan real. Jika iya, nyatakan apakah akar-akar tersebut merupakan bilangan rasional atau irasional, dan apakah persamaan kuadrat tersebut dapat difaktorkan atau tidak.

1. 2x2 + 5x + 2 = 0
2. x2 – 4x + 7 = 0
3. 4x2 – 20x + 25 = 0

Pembahasan

1. Persamaan 2x2 + 5x + 2 = 0 memiliki a = 2, b = 5, dan c = 2. Sehingga,
   
   Kita peroleh bahwa diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut merupakan bilangan kuadrat tidak nol. Maka persamaan tersebut memiliki 2 akar rasional dan dapat difaktorkan.
2. Dari persamaan x2 – 4x + 7 = 0 kita peroleh a = 1, b = –4, dan c = 7.
   
   Karena –12 < 0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar bilangan kompleks dan tidak dapat difaktorkan.
3. Persamaan kuadrat 4x2 – 20x + 25 = 0 memiliki a = 4, b = –20, dan c = 25. Maka,
   
   Karena diskriminannya nol, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki satu akar bilangan rasional dan dapat difaktorkan.

Perhatikan kembali contoh (2) di atas. Diskriminan persamaan kuadrat pada contoh soal tersebut adalah –12, yang berarti bahwa persamaan tersebut memiliki dua selesaian bilangan kompleks, yaitu

Akar-akar tersebut dapat dituliskan sebagai x = 2 + √3 i dan x = 2 – √3 i, yang merupakan dua bilangan kompleks yang sekawan

Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Sifat Akar Persamaan

Persamaan x2 = 25 dapat diselesaikan dengan menggunakan pemfaktoran. Bentuk standar dari x2 = 25 adalah x2 – 25 = 0 yang dapat difaktorkan menjadi (x – 5)(x + 5) = 0. Sehingga, solusi-solusi dari persamaan kuadrat tersebut adalah x = 5 atau x = –5, yang merupakan bilangan positif dan negatif dari akar kuadrat 25. Hasil ini memberikan suatu metode untuk menyelesaikan suatu persamaan kuadrat yang berbentuk X2 = k, yang selanjutnya disebut sifat akar kuadrat dari suatu persamaan.

Sifat Akar Kuadrat dari Suatu Persamaan
Jika X merepresentasikan suatu bentuk aljabar dan X2 = k, maka X = √k atau X = –√k, atau juga dapat dituliskan X = ±√k

Untuk lebih memahami penggunaan metode ini dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh 3: Penggunaan Sifat Akar Kuadrat dari Suatu Persamaan

Gunakan sifat akar kuadrat dari suatu persamaan untuk menyelesaikan masing-masing persamaan berikut.

1. –9x2 + 12 = –13
2. x2 – 18 = 0
3. (x + 1)2 = 36

Pembahasan

1. Persamaan –9x2 + 12 = –13 tidak berbentuk X2 = k. Sehingga kita harus mengubah persamaan kuadrat tersebut menjadi bentuk seperti itu.
   
   Sehingga, selesaian dari persamaan –9x2 + 12 = –13 adalah x = 5/3 atau x = –5/3.
2. Bentuk X2 = k dari x2 – 18 = 0 adalah x2 = 18. Sehingga,
   
   Jadi, selesaian dari persamaan x2 – 18 = 0 adalah x = 3√3 atau x = –3√3.
3. Persamaan (x + 1)2 = 36 sudah memiliki bentuk X2 = k. Sehingga,
   
   Sehingga, selesaian dari persamaan (x + 1)2 = 36 adalah x = 6 – 1 = 5 atau x = –6 – 1 = –7.

Untuk persamaan yang berbentuk (ax + b)2 = k (seperti contoh 3), dapat juga diselesaikan dengan menggunakan pemfaktoran. Akan tetapi kita harus menulis pangkat dua binomial tersebut ke dalam ekspansi/bentuk panjangnya, kemudian menyederhanakan persamaan yang diperoleh agar ruas kanan sama dengan nol dan terakhir, kita dapat memfaktorkan persamaan tersebut untuk menentukan selesaian-selesaiannya. Dengan menggunakan sifat akar kuadrat dari suatu persamaan, kita dapat menyelesaikan persamaan yang berbentuk (ax + b)2 = k secara lebih mudah.

Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Kuadrat Sempurna

Perhatikan persamaan kuadrat, (x – 5)2 = 24. Jika kita menuliskan kuadrat dari binomial tersebut menjadi bentuk panjangnya, kita memperoleh x2 – 10x + 25 = 24. Sehingga, apabila persamaan tersebut dituliskan dalam bentuk standar maka akan menjadi x2 – 10x+ 1 = 0, yang sangat sulit dipecah ke dalam perkalian faktor-faktornya karena faktor-faktor persamaan tersebut merupakan bilangan irasional. Dengan membalik proses di atas, kita akan mendapatkan strategi untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yang tidak dapat diselesaikan dengan pemfaktoran. Strategi tersebut selanjutnya disebut caramelengkapkan kuadrat. Perhatikan ilustrasi berikut.

Pada umumnya, setelah memindah konstanta ke ruas yang lain (lihat baris kedua), bilangan yang dapat “melengkapi kuadrat” dapat ditentukan dengan mengkuadratkan setengah dari koefisien suku linear: [1/2 ∙ (10)]2 = 25. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Contoh 1: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat

Dengan menggunakan cara melengkapkan kuadrat, selesaikanlah x2 + 13 = 6x.

Pembahasan Karena x2 + 13 = 6x tidak dalam bentuk standar, maka kita harus menuliskannya ke dalam bentuk standar terlebih dahulu.

Proses melengkapkan kuadrat dapat dilakukan terhadap semua persamaan kuadrat dengan koefisien suku-x2, a = 1. Jika koefisien dari suku-x2 tidak 1, maka kita harus membagi persamaan tersebut dengan a. Berikut ini langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat.

Melengkapkan Kuadrat dengan Cara Melengkapkan Kuadrat

Untuk menyelesaikan ax2 + bx + c = 0 dengan cara melengkapkan kuadrat:

1. Pindahkan konstanta c ke ruas kanan.
2. Bagi kedua ruas dengan koefisien suku-x2, a.
3. Hitung [1/2 ∙ (b/a)]2 dan jumlahkan kedua ruas dengan hasilnya.
4. Faktorkan ruas kanan sebagai kuadrat binomial; sederhanakan ruas kanan.
5. Selesaikan dengan menggunakan sifat akar kuadrat dari suatu persamaan.

Contoh 2: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat

Dengan melengkapkan kuadrat, selesaikan –3x2 + 1 = 4x.

Pembahasan Bentuk standar dari –3x2 + 1 = 4x adalah –3x2 – 4x + 1 = 0. Sehingga,

Jadi, selesaian-selesaian dari persamaan –3x2 + 1 = 4x  adalah x = –2/3 + √7/3 atau x = –2/3 – √7/3

Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Rumus abc

Pada pembahasan ini kita akan menentukan suatu rumus yang dapat digunakan untuk menentukan selesaian dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Sebelum itu, kita akan mencoba untuk menyelesaikan persamaan kuadrat 2x2 + 5x + 3 = 0. Perhatikan langkah-langkah dalam menyelesaikan 2x2 + 5x + 3 = 0 dengan melengkapkan kuadrat berikut.

Sehingga diperoleh selesaian-selesaian dari persamaan kuadrat di atas adalah x = –1 dan x= –3/2. Berdasarkan langkah-langkah di atas, kita akan menentukan suatu rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.

Solusi-solusi dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 di atas selanjutnya disebut sebagairumus kuadrat, yang dapat digunakan untuk menyelesaikan semua persamaan kuadrat.

Rumus KuadratJika ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0, maka

atau dapat dituliskan menjadi,

Catatan Perlu diketahui bahwa nilai a, b, dan c diperoleh dari persamaan kuadrat yang ditulis ke dalam bentuk standar. Untuk 3x2 – 5x = –7, a = 3, b = –5, tetapi c ≠ –7! Bentuk standar dari persamaan tersebut adalah 3x2 – 5x + 7 = 0, sehingga nilai c dari persamaan tersebut adalah 7.

Contoh 1: Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus Kuadrat

Selesaikan persamaan 4x2 + 1 = 8x dengan menggunakan rumus kuadrat. Nyatakan solusi-solusinya dalam bentuk eksak dan bentuk desimalnya (tiga angka di belakang koma). Ujilah salah satu selesaian eksaknya ke dalam persamaan.

Pembahasan Persamaan kuadrat 4x2 + 1 = 8x memiliki bentuk standar 4x2 – 8x + 1 = 0. Sehingga dari bentuk standar tersebut kita peroleh a = 4, b = –8, dan c = 1. Selanjutnya kita tentukan selesaian-selesaian dari persamaan kuadrat tersebut dengan rumus kuadrat.

Selanjutnya kita uji salah satu selesaiannya, yaitu x = 1 + √3/2 ke dalam persamaan.

Setelah kita uji, ternyata selesaian tersebut memenuhi persamaan kuadrat tersebut.