Langkah Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar Lingkaran

Sebelum kita melukis garis singgung persekutuan dua lingkaran, sebaiknya kita ketahui terlebih dulu pengertian garis singgung persekutan dua lingkaran. Garis singgung persekutuan dua lingkaran adalah garis yang menyinggung kedua lingkaran. Perhatikan gambar di bawah ini:

Garis k dan garis l di atas merupakan garis singgung persekutuan lingkaran X dan lingkaran Y. Terdapat dua jenis garis singgung persekutuan dua lingkaran, yaitu garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar. Garis k pada gambar di atas disebut garis singgung persekutuan luar, sedangkan garis l disebut garis singgung persekutuan dalam lingkaran X dan lingkaran Y. Pada pembahasan ini hanya akan dibahas topik melukis garis singgung persekutuan luar dua lingkaran.

Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran

Untuk melukis garis singgung persekutuan luar dari dua lingkaran dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Lukislah dua lingkaran yang masing-masing berpusat di titik A dan titik B dengan jari-jari r1 dan r2 kemudian hubungkan kedua titik pusat tersebut.
2. Lukis busur lingkaran dengan pusat di titik A dan B sehingga berpotongan di titik-titikC dan D. Kemudian hubungkan titik-titik C dan D tersebut sehingga memotong ruas garis AB di titik E.
3. Lukislah lingkaran dengan pusat di titik E dengan jari-jari EA.
4. Lukislah lingkaran dengan pusat di titik A dengan panjang jari-jari r1 – r2 sedemikian sehingga memotong lingkaran yang berpusat di titik E di titik-titik X dan Y, kemudian hubungkan titik A dengan titik X dan titik A dengan titik Y sehingga memotong lingkaran A di titik-titik F dan G.
5. Lukislah lingkaran yang berpusat di titik F dengan jari-jari XB sehingga memotong lingkaran B di titik H, kemudian lukis juga lingkaran dengan pusat di titik G dengan hari-jari YB sehingga memotong lingkaran B di titik I.
6. Hubungkan titik F dengan titik H dan titik G dengan titik I sehingga terbentuk garisFH dan garis GI. Garis-garis FH dan GI yang terbentuk merupakan garis singgung persekutuan luar dari lingkaran A dan lingkaran B.

Langkah nomor 1 sampai dengan 6 dalam melukis garis singgung persekutuan luar dari lingkaran A dan lingkaran B tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut:

Langkah Melukis Garis Singgung Persekutuan dalam Lingkaran

Melukis garis singgung persekutuan dalam dari dua lingkaran dapat dilakukan dengan langkah-langkah seperti berikut ini:

1. Lukislah dua lingkaran yang masing-masing berpusat di titik P dan titik Q dengan jari-jari r1 dan r2 kemudian hubungkan kedua titik pusat tersebut.
2. Lukislah busur lingkaran dengan pusat di titik P dan Q sehingga berpotongan di titik-titik R dan S. Kemudian hubungkan titik RS sehingga memotong PQ di titik T.
3. Lukislah lingkaran dengan pusat di titik T dengan jari-jari TP.
4. Lukislah lingkaran dengan pusat di titik P yang panjang jari-jarinya r1 + r2 sedemikian sehingga memotong lingkaran yang berpusat di titik T di titik-titik U dan V, kemudian hubungkan titik P dengan U dan V, sehingga memotong lingkaran P di titik-titik K danL.
5. Lukislah busur lingkaran dengan pusat di titik K dengan panjang jari-jarinya sama dengan UQ sedemikian sehingga memotong lingkaran Q pada titik M, kemudian lukis juga busur lingkaran dengan pusat L dengan panjang jari-jarinya sama dengan VQsedemikian sehingga memotong lingkaran Q pada titik N.
6. Hubungkan titik K dengan titik M dan titik L dengan titik N. Garis-garis KM dan LNmerupakan garis singgung persekutuan dalam lingkaran P dan lingkaran Q.

Langkah 1 sampai dengan 6 dalam melukis garis singgung persekutuan dalam lingkaran di atas dapat diilustrasikan sebagai berikut.

Cara Mengajarkan Jaring-Jaring Kubus yang Mudah

Sebelum membahas jaring-jaring kubus, bacalah permasalahan berikut.

Andre diundang untuk datang pada acara ulang tahun salah seorang temannya. Untuk itu dia harus mempersiapkan segala sesuatunya sehari sebelum acara tersebut dimulai, termasuk bungkus kadonya. Bungkus kado tersebut direncanakan akan berbentuk kubus, dan dibuat dengan menggunakan kertas karton. Bantulah Andre untuk mensketsa rancangan tersebut pada kertas karton agar rancangan tersebut dapat dibuat menjadi kubus tertutup!

Untuk membantu permasalahan Andre di atas, pilihlah satu dari empat rancangan berikut yang dapat digunakan untuk membuat kubus tertutup.

Rancangan manakah yang menurutmu paling tepat? Ya, rancangan nomor 1 merupakan rancangan yang paling tepat untuk membuat kubus tertutup. Rancangan tersebut dinamakan jaring-jaring kubus.

Jaring-jaring kubus adalah sebuah bangun datar yang jika dilipat menurut ruas-ruas garis pada dua persegi yang berdekatan akan membentuk bangun kubus.

Kubus memiliki sebelas jaring-jaring. Berikut ini kesebelas jaring-jaring kubus yang bisa dibuat.

Untuk lebih memahami mengenai jaring-jaring kubus, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

Berikut ini adalah gambar dari kubus yang 3 sisinya diberi tanda warna ungu.

Tentukanlah jaring-jaring kubus tersebut apabila kubus tersebut dipotong menurut rusuk-rusuk yang berwarna merah!

Pembahasan

Untuk memudahkan dalam membuat jaring-jaring kubus yang dimaksud, kita dapat memberi nama kubus tersebut sebagai kubus ABCD.EFGH.

Sehingga jaring-jaring yang terbentuk adalah sebagai berikut.

Untuk menguji kebenaran jaring-jaring yang telah dilukis, kita perhatikan titik-titik sudut yang dilalui oleh bingkai daerah yang berwarna ungu. Bingkai tersebut hanya melalui titik-titik B, E, dan G, serta titik-titik tengah rusuk FB, FG, dan FE (Perhatikan kubusABCD.EFGH). Sekarang perhatikan jaring-jaring yang kubus ABCD.EFGH di atas. Bingkai daerah ungu tersebut juga hanya melalui titik-titik B, E, dan G, serta titik-titik tengah rusuk FB, FG, dan FE.

Selain itu, pada soal meminta kita untuk memotong kubus menurut rusuk-rusuk yang berwarna merah. Rusuk-rusuk yang dimaksud adalah rusuk-rusuk AB, FB, EF, CG, FG,EH, dan DH. Karena ketujuh rusuk tersebut tidak memisahkan dua sisi pada jaring-jaring yang telah dilukis, maka jaring-jaring tersebut sesuai yang diperintahkan oleh soal. 

Jaring Jaring Prisma

Seperti pada jaring-jaring bangun ruang lainnya, jaring-jaring prisma dapat dibuat dengan mengiris beberapa rusuk prisma sehingga prisma tersebut dapat direbahkan pada suatu bidang datar. Misalkan kita akan membuat jaring-jaring dari prisma segitiga siku-siku. Berikut ini alur pembuatan jaring-jaring segitiga siku-siku.

Dari jaring-jaring yang terbentuk pada langkah ketiga tersebut, dapat dilihat bahwa jaring-jaring prisma segitiga siku-siku memiliki 2 sisi alas yang berbentuk segitiga siku-siku dan 3 sisi tegak yang berbentuk persegi panjang.

Dengan mengiris rusuk-rusuk prisma yang berbeda, kita juga akan mendapat jaring-jaring prisma yang berbeda pula. Berikut ini beberapa contoh jaring-jaring prisma segitiga siku-siku lainnya.

Semua jaring-jaring di atas merupakan jaring-jaring dari prisma segitiga. Bagaimana dengan jaring-jaring dari prisma lainnya? Berikut ini contoh dari jaring-jaring prisma segitiga (segitiga sama sisi), prisma segi empat (trapesium sama kaki), prisma segi lima, prisma segi enam, dan prisma segi tujuh.

 

Jaring-jaring Prisma Segi Lima

Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar Lingkaran

Pada pembahasan kali ini akan dibahas topik mengenai panjang garis singggung persekutuan luar lingkaran. Misalkan lingkaran A dan lingkaran B berikut secara berturut-turut memiliki jari-jari yang panjangnya r1 dan r2, seperti diperlihatkan oleh gambar berikut ini.

Garis DC di atas merupakan garis singgung persekutuan luar dari lingkaran A dan lingkaran B. Apabila Ruas garis DC digeser ke bawah sejauh CE sedemikian sehingga titikD berimpit dengan titik A, maka DC = AE dan DA = CE. Perhatikan bahwa EB = CB – CE, dan misalkan AB = d.

Karena segitiga AEB siku-siku di E, maka berlaku teorema Pythagoras seperti berikut:

Karena AE = DC, AB = d, dan EB = CB – CE = CB – CE = r2 – r1 maka

Sehingga, dari pembahasan di atas diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

Kuadrat dari panjang ruas garis singgung persekutuan luar dua lingkaran sama dengan kuadrat dari jarak titik pusat kedua lingkaran dikurangi dengan kuadrat dari selisih jari-jarinya.

Menghitung Panjang Garis Singgung Persekutuan dalam Lingkaran

Yang dimaksud panjang garis singgung persekutuan dalam di sini adalah panjang ruas garis yang dibentuk oleh titik-titik singgung lingkaran dengan garis singgung persekutuan dalam. Perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar di atas menunjukkan lingkaran P dan lingkaran Q yang secara berturut-turut memiliki panjang jari-jari r1 dan r2. Garis RT merupakan garis singgung persekutuan dalam dari lingkaran-lingkaran P dan Q. Apabila ruas garis RT digeser ke atas sejauh PTsedemikian sehingga titik T berimpit dengan P dan menghasilkan ruas garis SP maka SP =RT, dan SR = PT = r1. Perhatikan bahwa SQ = SR + RQ = PT + RQ = r1 + r2, dan jarak antara titik-titik pusat lingkaran-lingkaran P dan Q adalah d.

Karena segitiga QSP siku-siku di S, maka berlaku teorema Pythagoras sebagai berikut:

Sehingga, dari pembahasan mengenai panjang garis singgung persekutuan dalam di atas, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

Kuadrat dari panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran sama dengan kuadrat dari jarak titik-titik pusat kedua lingkaran dikurangi dengan kuadrat dari jumlah panjang jari-jarinya.

Untuk lebih memahami mengenai panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran, khususnya dalam pemecahan masalah, perhatikan contoh soal berikut ini.

Soal dan Pembahasan Jaring Jaring Limas

Lihat Materi Jaring Jaring Limas

Lukislah jaring-jaring limas segi empat apabila diketahui sisi alas dan proyeksi titik puncak pada bidang alasnya seperti berikut!

Pembahasan

Jaring-jaring dari limas yang dimaksud adalah seperti berikut.

Sifat Tali Busur Lingkaran

Baca : Tali Busur Bagian I

Kita akan menyelidiki sifat-sifat yang dihasilkan oleh perpotongan dua tali busur di luar lingkaran.

Dua Tali Busur yang Berpotongan di Luar Lingkaran

Pertama, kita akan menyelidiki penjang ruas garis yang dihasilkan oleh perpotongan dua tali busur di luar lingkaran. Perhatikan gambar berikut!

Perhatikan bahwa sudut-sudut ACE dan ADB merupakan sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama, sehingga kedua sudut tersebut sama besar. Selain itu, sudutCAE berhimpit dengan sudut DAB, sehingga kedua sudut tersebut juga kongruen. Karena terdapat dua pasang sudut yang sama besar, maka segitiga ACE sebangun dengan segitigaADB.

Oleh karena itu, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian dari segitiga ACE dan segitigaADB sama besar. Atau dengan kata lain, AE : AB = AC : AD atau AE × AB = AB × AC.

Jika dua tali busur berpotongan pada satu titik di luar lingkaran, maka hasil kali perpanjangan kedua tali busur sama dengan hasil kali kedua tali busur dan perpanjangannya.

Selanjutnya perhatikan bahwa sudut ABD berpelurus dengan sudut CBD, sehingga besar sudut ABD sama dengan 180° dikurangi besar sudut CBD, ditulis ABD = 180° – CBD. Karena jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°, maka BAD + ABD + ADB = 180°. Atau dengan kata lain, BAD = 180° – (ABD + ADB) = 180° – (180° – CBD + ADB) = CBD –ADB.

Sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran, besarnya sama dengan selisih sudut keliling yang menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.

Tali Busur Lingkaran

Tali busur merupakan salah satu dari unsur lingkaran. Untuk mengetahui apa itu tali busur lingkaran, perhatikan gambar berikut!

Tali busur lingkaran dapat ditunjukkan oleh gambar (i), yaitu semua ruas garis yang berwarna hijau di atas. Sedangkan ruas garis dan garis warna orange, ataupun titik-titik QR pada gambar (ii) bukanlah tali busur. Dari gambar tersebut, dapatkah kamu menyimpulkan apa itu tali busur lingkaran?

Tali busur lingkaran adalah ruas garis dalam lingkaran yang menghubungkan 2 titik pada lingkaran.

Setelah mengetahui definisi dari tali busur lingkaran, mari kita cari tahu sifat-sifatnya. Dua tali busur lingkaran dapat berpotongan di dalam lingkaran, pada lingkaran, ataupun di luar lingkaran. Perhatikan gambar berikut!

Tali-tali busur pada gambar (a) berpotongan di dalam lingkaran. Tali-tali busur pada gambar (ii) berpotongan pada lingkaran. Sedangkan tali-tali busur lingkaran pada gambar (iii) berpotongan di luar lingkaran. Pada pembahasan ini, kita akan menyelidiki sifat-sifat perpotongan dua tali busur di dalam lingkaran.

Dua Tali Busur yang Berpotongan di Dalam Lingkaran

Pertama, kita akan menyelidiki panjang ruas yang dipisahkan oleh titik perpotongan dua tali busur tersebut. Perhatikan gambar berikut!

Perhatikan bahwa sudut-sudut ABC dan ADC merupakan sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama, sehingga sudut ABC sama dengan sudut ADC. Selain itu, sudut-sudut AKD dan CKB merupakan sudut-sudut yang bertolak belakang. Sehingga sudut AKD sama dengan sudut CKB. Oleh karena itu, segitiga AKD sebangun dengan segitiga CKB.

Karena segitiga-segitiga AKD dan CKB merupakan segitiga-segitiga yang sebangun, maka perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya sama, yaitu AK : CK = KD : KB. Atau dengan kata lain, AK × KB = CK × KD.

Jika dua tali busur berpotongan pada satu titik di dalam lingkaran, maka hasil kali kedua bagian dari satu tali busur sama dengan hasil kali kedua bagian tali busur yang lain.

Selanjutnya, kita akan menyelidiki besar sudut yang dibentuk oleh perpotongan dua tali busur tersebut. Dengan cara yang sama dengan di atas, dapat ditunjukkan bahwa segitigaPLS sebangun dengan segitiga RLQ. Sehingga sudut P sama dengan sudut R, sudut S sama dengan sudut R, dan sudut L1 sama dengan sudut L2 (Sudut L1 dan L2 secara berturut-turut merupakan sudut L atas dan bawah). Karena sudut α berpelurus dengan sudut L1, maka α = 180° – L1. Sesuai dengan sifat penjumlahan sudut-sudut dalam segitiga, maka P+ S + L1 = 180°. Atau dengan kata lain, L1 = 180° – P – S. Sehingga, α = 180° – (180° – P –S) = P + S. Karena sudut S sama dengan sudut Q, maka α = P + Q.

Sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran besarnya sama dengan jumlah sudut keliling yang menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.

Sampai di sini dulu pembahasan kita mengenai tali busur lingkaran. Untuk sifat-sifat yang ada pada perpotongan dua tali busur di luar lingkaran, akan dibahas pada postingan selanjutnya, yaitu “Tali Busur Lingkaran Bagian II”.

Sifat-Sifat Garis Singgung Lingkaran

Lingkaran dan garis singgungnya sering dijumpai di sekitar kita. Rantai sepeda dapat dianalogikan sebagai garis singgung lingkaran, dalam hal ini yang menjadi lingkarannya adalah gear sepeda. Jadi, apakah yang dimaksud dengan garis singgung lingkaran? Sebelum menjelaskan pengertian tentang garis singgung lingkaran, perhatikan gambar berikut.

Apakah perbedaan antara garis k, l, dan m? Ya! Garis k tidak memotong lingkaran O, garisl memotong lingkaran O pada 2 titik, sedangkan garis m memotong lingkaran O tepat di satu titik. Garis m tersebut disebut garis singgung lingkaran O.

Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik.

Sifat-sifat Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran memiliki beberapa sifat yang merupakan akibat dari definisi di atas. Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut:

• Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan diameter lingkaran yang melalui titik singgungnya. Titik singgung adalah titik perpotongan garis singgung dengan lingkaran.
  
• Melalui suatu titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu dan hanya satu garis singgung pada lingkaran.
  
  Garis p di atas bukan merupakan garis singgung lingkaran O.
• Melalui suatu titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung lingkaran.
  
• Apabila dua garis singgung berpotongan pada suatu titik di luar lingkaran, maka jarak antara titik potong tersebut dengan titik-titik singgung kedua garis singgung tersebut sama.
  
  Sifat yang keempat ini dapat dibuktikan dengan menggunakan teorema Pythagoras. Karena segitiga-segitiga POR dan POQ adalah segitiga siku-siku, maka PQ2 = PO2 – r2dan PR2 = PO2 – r2. Sehingga PQ = PR.

Demikian penjelasan mengenai garis singgung lingkaran.