Media Pembelajaran Matematika GeoBoard

Banyak cara dalam melaksanakan pembelajaran matematika di kelas, bisa dengan ceramah, diskusi kelompok, CTL, RME, maupun dengan menggunakan bantuan media pembelajaran. Media pembelajaran pun banyak macamnya, diantaranya adalah televisi, DVD, komputer, model, dan alat peraga.

Dalam pembelajaran geometri dua dimensi, pembelajaran dengan menggunakan alat peraga adalah pilihan yang menarik. Untuk itu penulis mengulas mengenai GeoBoard, suatu alat peraga dalam pembelajaran geometri kelas VII.

“This is a geoboard or papan berpaku, media for helping students to learn about plane.” – Elok Dwi R. (Salah seorang mahasiswi UM dan merupakan teman dari penulis).

Apa Itu GeoBoard?

GeoBoard adalah suatu papan berpaku yang dapat digunakan dalam pembelajaran geometri kelas VII. Papan berpaku ini secara sederhana terbuat dari kayu tipis kemudian dipaku pada bidangnya. Paku-paku ini disusun sedemikian sehingga tersusun secara rapi dan berbentuk seperti persegi satuan.

GeoBoard

Untuk memodifikasi GeoBoard ini dapat dilakukan dengan mewarnai papan dengan warna yang gelap, misalnya hitam, atau dengan memberikan stiker-stiker yang membuat siswa tertarik. Misalnya dengan memberikan stiker karakter-karakter Spongeboob. Pemberian stiker ini sebaiknya berbeda antara GeoBoard satu dengan yang lainnya. Hal ini dimaksudkan agar alat peraga ini memberikan identitas apabila digunakan dalam pembelajaran kooperatif.

Dalam penggunaan GeoBoard diperlukan karet gelang untuk membentuk bangun-bangun pada papan. Selain itu dapat ditambahkan pula kertas untuk melukis atau mengeblat bangun yang sudah terbentuk pada GeoBoard.

Bagaimana Implementasinya dalam Pembelajaran?

Penggunaan alat peraga ini tergantung dari situasi dan kondisi kelas. Alat peraga ini dapat digunakan sebagai media dalam pembelajaran klasikal maupun kelompok. Secara klasikal maksudnya dalam penggunaannya guru melakukan ceramah kepada siswa dan memberikan contoh peragaan mengenai segitiga, segiempat, dan lainnya melalui GeoBoard.

Secara kelompok berarti alat peraga ini dibagikan kepada masing-masing kelompok siswa kemudian guru memberikan panduan agar siswa dan kelompoknya melakukan eksplorasi terhadap alat peraga ini mengenai materi geometri. Panduan ini dapat diberikan dengan menggunakan LKS.

Demikian ulasan penulis mengenai GeoBoard, suatu alat peraga yang dikembangkan teman kami Elok Dwi R. (kunjungi halaman facebooknya).

Mengajarkan Perbandingan Pecahan dengan Permainan

Materi pecahan sering menjadi momok bagi sebagian besar siswa SD ataupun SMP. Untuk itu, mari kita pelajari pecahan dengan cara yang lebih manis, yaitu dengan game “Pesta Cokelat Maksimal”. Pada game ini kita akan belajar untuk membagi cokelat. Selain itu kita juga akan berlatih membandingkan dan mengurutkan bagian-bagian cokelat, yang digunakan sebagai konteks dari pecahan.

Aturan Game

Pada game ini membutuhkan 3 buah meja dan 6 buah cokelat. Satu, dua, dan tiga buah cokelat, yang memiliki kesamaan dalam ukuran dan rasa, secara berturut-turut diletakkan pada meja pertama, kedua, dan ketiga. Setiap tamu yang datang memilih satu dari ketiga meja tersebut kemudian duduk mengelilingi meja tersebut. Aturan dari game ini menyatakan bahwa jika semua tamu telah duduk, cokelat yang ada pada meja tersebut dibagi sama rata kepada seluruh tamu yang mengelilingi meja tersebut. Untuk tujuan dalam game ini, kita anggap bahwa semua pemain menginginkan bagian cokelat yang semaksimal mungkin, dan semua tamu yang memilih meja menganggap dirinya sebagai tamu yang terakhir.

Dan Game-pun Dilakukan

Ketika memainkan game ini, tempatkan lembar kerja di setiap meja. Lembar kerja tersebut dapat ditunjukkan oleh gambar berikut.

Semua partisipan game ini berdiri agak jauh dari meja, akan tetapi mereka juga harus jelas untuk melihat cokelat yang ada di atas meja dan semua tamu yang telah duduk mengelilingi meja tersebut. Semua partisipan juga harus memiliki copy-an dari lembar kerja di atas. Setelah setiap tamu baru yang duduk, semua partisipan (termasuk mereka yang telah duduk) harus memikirkan di mana tamu selanjutnya seharusnya duduk. Adalah hal yang penting untuk menanyakan kepada setiap tamu baru, mengapa dia memilih meja tertentu. Semua partisipan lainnya mendengarkan dengan cermat pendapat dari tamu baru tersebut untuk mendiskusikannya, apakah pendapat tamu baru tersebut benar atau salah.

Diskusi Langkah Demi Langkah Selama Game Berlangsung

Perhatikan tabel di bawah dan ikuti penjelasannya.

Karena semua kotak cokelat pada masing-masing meja memiliki ukuran yang sama, maka kita gunakan kata “bagian” sebagai satuan dalam keseluruhan pembahasan ini. Tamu yang datang pertama kali akan memilih meja ke-3. Mengapa? Karena saat pertama kali datang, banyaknya cokelat pada meja pertama paling banyak di antara meja-meja yang lain. Tamu kedua akan mendapat 1 bagian pada meja pertama, 2 bagian pada meja ke-2, dan 1 1/2 bagian pada meja ke-3, karena 3 bagian pada meja ini akan dibagi kepada tamu sebelumnya. Sehingga tamu ke-2 akan memilih meja yang ke-2. Tamu ke-3 akan mendapat 1 bagian pada meja pertama, 1 bagian pada meja ke-2, dan 1 1/2 pada meja ke-3. Sehingga tamu ke-3 akan memilih meja ke-3.

Tamu 4, 5, dan 6

Tamu ke-4 dapat memilih sembarang meja, karena ada 1 bagian cokelat yang menunggunya pada masing-masing meja. Misalkan tamu ke-4 memilih meja yang pertama. Maka tamu ke-5 dan 6 secara berturut-turut bisa memilih meja yang ke-3 dan 2. Bagaimana jika tamu ke-4 memilih meja yang berbeda? Maka tamu ke-5 dan ke-6 memilih meja yang berbeda pula. Perhatikan gambar berikut!

Dari gambar di atas, apapun urutan meja yang dipilih oleh tamu ke-4, 5, dan 6 tidak akan mengubah bagian cokelat yang akan diterima oleh tamu ke-7, pada masing-masing meja.

Tamu Ke-7

Keputusan meja mana yang akan dipilih oleh tamu ke-7 patut mendapat perhatian yang berbeda. Tamu ke-7 akan mendapat pilihan 1/2 bagian pada meja pertama, 2/3 bagian pada meja ke-2, dan 3/4 bagian pada meja ke-3. Manakah yang paling besar: 1/2, 2/3, ataukah 3/4? Kita dapat menganggap setiap pecahan tersebut sebagai “pecahan yang kurang dari keseluruhan.” Bagaimanapun, ketiga pecahan tersebut berbeda: 1/2 sama dengan 1/2 kurangnya dari keseluruhan, 2/3 sama dengan 1/3 kurangnya dari keseluruhan, dan 3/4 sama dengan 1/4 kurangnya dari keseluruhan. Maka, kita dapat membandingkan unit-unit pecahan 1/2, 1/3, dan 1/4 terlebih dahulu. Yang dimaksud unit pecahan di sini adalah pecahan yang memiliki pembilang sama dengan 1.

Bayangkan 3 kotak cokelat yang memiliki ukuran/besar sama. Satu kotak dibagi menjadi 2 bagian yang sama, satu kotak dibagi menjadi 3 bagian yang sama, dan satu kotak dibagi menjadi 4 bagian yang sama. Bagian manakah yang terkecil, bagian manakah yang terbesar?

Semakin banyak kita membagi cokelat, maka semakin kecil bagian cokelat yang kita dapat. Atau secara informal, kita dapat mengatakan: “Semakin banyak teman semakin bagus, akan tetapi tidak demikian apabila kita ingin membagikan cokelat.” Sehingga, 1/2 > 1/3 > 1/4. Secara matematis, kita dapat menyatakan bahwa: Beberapa unit pecahan dapat dibandingkan dengan membandingkan penyebutnya–semakin besar penyebutnya, semakin kecil nilai unit pecahan tersebut.

Bayangkan 3 kotak cokelat yang sama. Satu kotak cokelat pertama dipotong 1/2 bagian, satu kotak cokelat pertama dipotong 1/3 bagian, dan satu kotak cokelat lainnya dipotong 1/4 bagian. Dari ketiga kotak cokelat tersebut, kotak cokelat manakah yang memiliki bagian sisa yang paling besar? Jawaban dari pertanyaan ini sama dengan jawaban dari pertanyaan, “Cokelat manakah yang dipotong paling kecil?” Sehingga, 3/4 > 2/3 > 1/2. Ini berarti bahwa, tamu ke-7 harus memilih meja yang ke-3.

Tamu 8 sampai 12

Tamu ke-8 akan membandingkan 2/3 dan 3/5, karena kedua pecahan tersebut lebih besar dari 1/2. Tetapi, seberapa lebih besarkah? Untuk membandingkannya, perhatikan gambar berikut!

Dari gambar di atas, kita dapat melihat bahwa 2/3 lebih dari 1/2, sebesar setengahnya 1/3. Sedangkan 3/5 lebih dari 1/2, sebesar setengahnya 1/5. Padahal 1/5 kurang dari 1/3. Sehingga, setengahnya 1/5 kurang dari setengahnya 1/3. Hal ini menyebabkan 3/5 kurang dari 2/3. Sehingga, tamu ke-8 seharusnya memilih meja yang ke-2. Selanjutnya, tamu ke-9 pergi ke meja ke-3.

Tamu ke-10 dapat memilih meja manapun, karena dia akan mendapatkan bagian yang sama, yaitu 1/2 bagian dari kotak cokelat. Akan tetapi, pada meja ke-2 bagian yang akan diterima direpresentasikan dengan 2/4, sedangkan pada meja ke-3 direpresentasikan dengan 3/6. Sehingga, kita dapat mengatakan bahwa 1/2 = 2/4 = 3/6. Ketiga pecahan tersebut merupakan pecahan yang senilai. Apa itu pecahan senilai?

Pecahan senilai dari pecahan tertentu dapat diperoleh dengan mengalikan pecahan tertentu tersebut dengan suatu bilangan. Atau dapat disimbolkan, a/b = p/q, apabila p = k × a dan q = k × b, untuk a, b, p, q, dan k merupakan bilangan asli.

Misalkan tamu ke-10 memilih meja pertama dan tamu ke-11 memilih meja ke-3. Maka tamu ke-12 akan memilih meja ke-2.

Tamu 13

Meja manakah yang seharusnya dipilih oleh tamu ke-12? Mari kita mulai dengan membandingkan 1/3 dan 2/5. Dengan menggunakan pecahan senilai, kita dapatkan 1/3 = 2/6. Sebelumnya, kita telah mendapatkan, untuk unit-unit pecahan, semakin besar penyebutnya, semakin kecil nilai unit pecahan tersebut. Sehingga, 1/5 lebih besar dari 1/6. Sehingga pertidaksamaan itu juga berlaku bagi dua kali dari masing-masing unit pecahan tersebut. Diperoleh, 2/5 > 2/6. Sehingga aturan ini tidak hanya berlaku pada unit-unit pecahan, tetapi juga berlaku pada setiap pecahan yang memiliki pembilang sama. (Bayangkan untuk menempatkan beberapa beban yang banyaknya sama pada sisi kanan dan kiri suatu timbangan. Semua beban di sisi kiri memiliki berat yang sama, dan semua beban di sebelah kanan memiliki berat yang sama. Akan tetapi setiap beban pada sisi kiri lebih ringan daripada setiap beban di sebelah kanan. Beban manakah yang lebih ringan, semua beban di sebelah kiri atau kanan?)

Sekarang kita akan membandingkan 2/5 dan 3/7. Untuk membandingkan kedua pecahan ini, perhatikan gambar berikut!

Dari gambar tersebut kita dapat melihat bahwa 2/5 kurang dari 1/2, yaitu sebesar setengahnya 1/5. Sedangkan 3/7 kurang dari 1/2, yaitu sebesar setengahnya 1/7. Karena 1/5 lebih besar dari 1/7, maka 2/5 terletak di sebelah kiri 1/2 lebih jauh daripada 3/7. Hal ini menunjukkan bahwa, 2/5 < 3/7, dan tamu ke-13 seharusnya pergi ke meja 3.

Dan Tamu-tamu Selanjutnya

Tamu yang ke-14 mungkin mengatakan bahwa telah ditunjukkan 1/3 = 2/6 < 2/5. Dengan menggunakan penalaran ini, 1/3 = 3/9 < 3/8. Sehingga kita perlu membandingkan 2/5 dan 3/8. Sebelumnya kita telah mendapatkan bahwa 2/5 kurang dari 1/2, yaitu sebesar setengahnya 1/5. Atau dengan kata lain, 2/5 kurang dari 1/2 sebesar 1/10. Atau,

Di sisi lain, 1/2 = 4/8 dan 3/8 sama dengan 1/8 kurangnya dari 1/2, atau

Lagi, seperti kasusnya tamu ke-7, kita mengurangkan pecahan yang sama, tetapi 1/10 lebih kecil dari 1/8. Sehingga, 2/5 lebih besar dari 3/8, dan meja ke-2 harus dipilih oleh tamu ke-14. Selanjutnya, tamu ke-15 harus memilih meja ke-3. Tamu ke-16 mendapatkankan bagian yang sama di setiap meja.

Setelah tamu ke-16 tersebut, kita dapat menghentikan permainan ini. Walaupun secara teoritis, permainan ini dapat diteruskan sampai tamu yang tak terbatas

Cara Menemukan Nilai Pi (3,14)

Games Matematika Segi Empat Ajaib

Segi empat ajaib (magic square) merupakan permainan yang bertujuan untuk memecahkan masalah yang berhubungan dengan penjumlahan bilangan bulat. Misalkan diberikan bilangan-bilangan bulat: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Letakkan semua bilangan bulat tersebut pada kotak-kotak di bawah ini, sedemikian sehingga penjumlahan dari 3 bilangan mendatar, 3 bilangan vertikal, dan 3 bilangan diagonal menghasilkan nilai yang sama.

Permainan inilah yang disebut Magic Square! Untuk menyelesaikan masalah tersebut, lakukan beberapa langkah berikut.

Langkah 1: Tentukan jumlah dari semua bilangan yang mengisi kotak. Karena bilangan yang akan mengisi kotak adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, maka kesembilan bilangan tersebut harus dijumlahkan.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

Selain dengan menggunakan cara penjumlahan di atas, jumlah dari bilangan-bilangan tersebut dapat dilakukan sebagai berikut:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = ((1 + 9) × 9)/2 = 45

Cara kedua ini dapat diperoleh dengan menjumlahkan bilangan terkecil dengan bilangan terbesar, kemudian mengalikannya dengan banyak seluruh bilangan, dan terakhir dibagi dengan 2. Sehingga diperoleh jumlah dari semua bilangan yang akan mengisi kotak adalah 45.

Langkah 2: Tentukan jumlah 3 bilangan dari masing-masing baris, kolom, dan diagonal pada segi empat ajaib. Perhatikan gambar berikut.

Karena penjumlahan dari masing-masing baris pada segi empat di atas bernilai sama, maka a + b + c = d + e + f = g + h + i. Karena jumlah dari semua bilangan yang akan mengisi kotak adalah 45 dan pada segi empat tersebut terdiri dari 3 baris, maka jumlah dari bilangan-bilangan pada masing-masing baris adalah 45/3 = 15. Demikian juga dengan jumlah bilangan yang akan mengisi kolom dan diagonal adalah 15.

Langkah 3: Tentukan semua kemungkinan penjumlahan 3 bilangan, yang terdiri dari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, atau 9, sedemikian sehingga penjumlahannya menghasilkan 15. Berikut ini semua kemungkinannya.

1 + 5 + 9
1 + 6 + 8
2 + 4 + 9
2 + 5 + 8
2 + 6 + 7
3 + 4 + 8
3 + 5 + 7
4 + 5 + 6

Terdapat 8 kemungkinan dari penjumlahan 3 bilangan bulat 1 sampai 9 yang menghasilkan 15. Kemungkinan-kemungkinan ini nantinya diletakkan pada segi empat ajaib.

Langkah 4: Letakkan semua kemungkinan pada langkah 3 pada baris, kolom, dan diagonal segi empat. Pada langkah 3, perhatikan bahwa:

1 muncul 2 kali,
2 muncul 3 kali,
3 muncul 2 kali,
4 muncul 3 kali,
5 muncul 4 kali,
6 muncul 3 kali,
7 muncul 2 kali,
8 muncul 3 kali, dan
9 muncul 2 kali.

Bilangan-bilangan yang muncul 2 kali nantinya akan diletakkan pada kotak tengah dari sisi vertikal atau horizontal segi empat ajaib, karena pada kotak ini dilalui oleh 1 baris dan 1 kolom.

Bilangan-bilangan yang muncul 3 kali nantinya akan diletakkan pada kotak bagian pojok dari segi empat ajaib tersebut, karena kotak ini dilalui oleh 1 baris, 1 kolom, dan 1 diagonal.

Sedangkan bilangan yang muncul 4 kali nantinya akan diletakkan pada kotak yang terletak tepat di tengah-tengah segi empat ajaib, karena pada kotak ini dilalui oleh 1 baris, 1 kolom, dan 2 diagonal.

Sehingga, agar menghasilkan penjumlahan baris, kolom, dan diagonal yang sama,  bilangan-bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9 dapat disusun pada segi empat ajaib sebagai berikut.

It’s magic! Coba dicek, apakah penjumlahan dari bilangan-bilangan pada setiap baris, kolom, dan diagonal dari segiempat di atas menghasilkan bilangan yang sama? Bagaimana cara memecahkan permasalahan mengenai segi empat ajaib lainnya? Dalam memecahkan permasalahan mengenai segi empat ajaib lainnya dapat digunakan langkah-langkah 1 – 4 di atas.

Latihan Soal

Lengkapilah magic square berikut ini dengan bilangan-bilangan ganjil mulai 5 – 21!

Kunci jawaban dari latihan soal di atas dapat dilihat di sini. 

Teka-Teki Matematika Segi Empat yang Hilang

Berikut ini contoh lain dari permasalahan “missing square.”

Apakah kamu dapat menjawab pertanyaan pada gambar tersebut, “Ke manakah persegi ungu?” Sebelum menjawabnya, jawablah pertanyaan berikut: Berbentuk apakah bangun datar yang dibentuk oleh bangun datar-bangun datar yang berwarna orange, kuning, hijau, biru, dan ungu? Mungkin kita menduga bahwa bangun datar tersebut adalah persegi. Akan tetapi pada kenyataannya bangun datar tersebut bukan persegi, melainkan bangun datar segi-8. Mengapa demikian?

Sekarang coba perhatikan sisi miring dari segitiga-segitiga yang berwarna orange dan kuning dengan cermat. Apakah kemiringan dari sisi miring segitiga-segitiga tersebut sama? Segitiga orange memiliki sisi miring yang bergradien 5/2 sedangkan segitiga kuning sisi miringnya memiliki gradien 8/3. Apa artinya ini?

Sisi miring dari segitiga-segitiga orange dan kuning merupakan sisi-sisi dari bangun datar besar, sehingga bangun datar besar tersebut merupakan segi-8. Segi-8 merupakan bangun datar yang memiliki 8 sisi dan masing-masing sisi berdekatannya memiliki kemiringan/gradien yang berbeda.

Jadi masalahanya bukan kemana persegi ungu menghilang, akan tetapi berbentuk apakah bangun datar besar tersebut. Perhatikan gambar awal dan akhir dari bangun datar besar berikut.

Bangun datar pertama merupakan segi-8 dengan sisi-sisinya cembung, sedangkan bangun datar kedua merupakan segi-8 yang sisi-sisinya cekung. Sehingga, dengan mudah kita dapat meyimpulkan bahwa segi-8 pertama memiliki luas yang lebih besar daripada segi-8 kedua. Berapakah selisih luas kedua segi-8 tersebut? Selisih luas dari kedua segi-8 tersebut adalah sebesar luas dari persegi ungu yang “hilang.”