Penyelesaian Integral Subtitusi Trigonometri

Substitusi trigonometri dapat digunakan untuk menyelesaikan integral yang memuat bentuk akar

Tujuan dari penggunaan substitusi trigonometri adalah untuk menghilangkan akar tersebut dalam integran. Kita dapat melakukan hal ini dengan menggunakan identitas Pythagoras

Sebagai contoh, jika a > 0, misalkan u = a sin θ, dengan –π/2 < θ < π/2. Maka

Perhatikan bahwa cos θ ≥ 0, karena –π/2 < θ < π/2.

Substitusi Trigonometri

1. Untuk integral yang memuat √(a² – u²), misalkan u = a sin θ. Maka, didapatkan √(a² – u²) = a cos θ, di mana –π/2 < θ < π/2.
   
2. Untuk integral yang memuat √(a² + u²), misalkan u = a tan θ.
   Maka, √(a² + u²) = a sec θ, dengan –π/2 < θ < π/2.
   
3. Untuk integral yang memuat √(u² – a²), misalkan u = a sec θ. Maka,
   
   

Catatan Batasan dari θ memastikan bahwa fungsi pada substitusi tersebut merupakan fungsi satu-satu. Faktanya, batasan tersebut merupakan interval yang sama di mana arcsinus, arctangen, dan arcsecan didefinisikan.

Relasi Rekursif Homogen Linear Berderajat Dua dengan Koefisien Konstanta

Metode ini merupakan teknik dasar yang tidak membutuhkan teknik khusus kecuali kemampuan untuk menemukan pola. Akan tetapi, pada banyak kasus, pola pada barisan tertentu tidak dapat dilihat secara jelas sehingga kita membutuhkan metode lain dalam menentukan rumus eksplisit tersebut. Terdapat berbagai macam metode yang dapat digunakan untuk menentukan rumus eksplisit dari barisan yang didefinisikan secara rekursif. Metode yang dijelaskan pada pembahasan ini merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan rumus eksplisit dari barisan Fibonacci dan barisan-barisan sejenis lainnya.

Definisi
Relasi rekursif homogen linear berderajat dua dengan koefisien konstanta merupakan relasi rekursif yang memiliki bentuk,

untuk setiap bilangan bulat k ≥ bilangan bulat tertentu, di mana A dan B merupakan suatu konstanta bilangan real, dengan B ≠ 0.

Relasi rekursif tersebut dikatakan “berderajat dua” karena ak dinyatakan dalam dua suku sebelumnya, ak – 1 dan ak – 2, dikatakan “linear” karena ak – 1 dan ak – 2 muncul pada suku yang berbeda dan masing-masing memiliki pangkat satu, dikatakan “homogen” karena total derajat dari masing-masing sukunya sama (sehingga tidak ada suku konstanta), dan “koefisien konstanta” karena A dan B merupakan suatu konstanta yang tidak bergantung terhadap k.

Contoh 1: Relasi Rekursif Homogen Linear Berderajat Dua dengan Koefisien Konstanta

Nyatakan apakah masing-masing relasi rekursif berikut merupakan relasi rekursif homogen linear berderajat dua dengan koefisien konstanta atau bukan:

1. ak = (–4)ak – 1 + (k + 1)ak – 2
2. bk = bk – 1 + bk – 2
3. ck = (ck – 1)2 + ck – 1 ∙ ck – 2
4. dk = dk – 1 + dk – 2 + dk – 3
5. ek = 2ek – 2
6. fk = 2fk – 1 + 3fk – 2 – 5

Pembahasan Kita dapat mengidentifikasi relasi-relasi rekursif tersebut dengan menggunakan definisi di atas.

1. Bukan; koefisiennya bukan konstanta.
2. Iya; A = 1 = B.
3. Bukan; tidak linear.
4. Bukan; tidak berderajat dua.
5. Iya; A = 0 dan B = 2.
6. Bukan; tidak homogen.

Cara Menemukan Lintasan Terpendek

Pada pembahasan ini kita akan menggunakan sifat pencerminan yang banyak diterapkan di dunia teknik dan sains. Sifat pencerminan yang akan kita gunakan mungkin bisa membantu kalian dalam bermain billiard. Sifat pencerminan tersebut dapat digunakan untuk menemukan lintasan terpendek yang dilalui suatu titik untuk menuju suatu garis kemudian dilanjutkan menuju titik lain di sisi yang sama.

Investigasi: Menemukan Lintasan Terpendek

Untuk menemukan lintasan terpendek yang dilalui oleh titik untuk menuju ke garis, dan dilanjutkan ke titik dalam satu sisi terhadap garis tersebut, lakukan langkah-langkah berikut:

1. Gambarlah ruas garis, yang dapat dianalogikan sebagai papan pantul meja billiard, di tengah-tengah kertas gambar. Gambar dua titik, A dan B, yang terletak pada satu sisi terhadap ruas garis.
2. Bayangkan kalian akan mendorong bola di titik A sedemikian sehingga memantul melalui papan pantul kemudian mengenai bola lainnya di titik B. Gunakan busur derajat untuk menemukan titik C, titik di mana bola tersebut memantul pada papan pantul, secara coba-coba (trial and error).
3. Gambarlah ruas garis AC dan BC yang merepresentasikan lintasan bola tersebut.
   
4. Lipatlah kertas gambar sepanjang ruas garis untuk menggambar bayangan titik A. Berilah label titik bayangan A dengan A’.
5. Kembalikan keadaan kertas seperti semula, kemudian gambarlah ruas garis yang menghubungkan titik B dengan A’. Apa yang dapat kalian peroleh? Apakah titik Cterletak pada ruas garis BA’? Coba bandingkan lintasan dari B ke A’ dengan lintasan dari A ke C kemudian ke B!
   
6. Dapatkah kalian menemukan lintasan lain dari titik A ke ruas garis kemudian ke Byang panjangnya lebih pendek dari AC + BC? Mengapa atau mengapa tidak? Lintasan terpendek dari titik A ke ruas garis kemudian ke titik B disebut lintasan minimum (minimal path).

Kesimpulan tentang Lintasan Minimum

Dari beberapa langkah dalam investigasi menemukan lintasan minimum di atas dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

Jika titik-titik A dan B berada satu sisi terhadap ruas garis l, maka lintasan minimum dari titik A ke titik B dengan melewati ruas garis l dapat ditentukan dengan mencerminkan titik A terhadap ruas garis l dan menghasilkan bayangan A’. Apabila perpotongan ruas garis BA’ adalah C, maka lintasan minimumnya adalah ACB.

Untuk lebih memahami mengenai lintasan minimum, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal

Jalan tol baru telah dibangun di dekat Kota Baru dan Kota Lama. Dua kota tersebut berencana membangun jalan raya yang bertemu di jalan tol tersebut. Tentukan lokasi persimpangan jalan tol dan jalan raya yang akan dibangun agar jalan raya tersebut memiliki panjang yang minimum. Bagaimana kalian tahu kalau jalan raya yang kalian gambar merupakan lintasan minimum?

Pembahasan Contoh Soal

Lintasan minimum yang menghubungkan Kota Baru, jalan tol, dan Kota Lama dapat ditunjukkan oleh gambar berikut.

Bagaimana kalian tahu kalau jalan raya yang kita gambar di atas merupakan lintasan minimum? Perhatikan gambar berikut!

Misalkan ADC adalah sembarang lintasan lain yang menghubungkan Kota Baru, jalan tol, dan Kota Lama. Karena DC = DC’, maka AD + DC = AD + DC’. Demikian juga, AB + BC =AB + BC’. Karena AB + BC’ < AD + DC’ maka AB + BC < AD + DC. Jadi, ABC merupakan lintasan minimum yang menghubungkan Kota Baru, jalan tol, dan Kota Lama.

Cara Menentukan Volume Benda Putar dengan Metode Cincin

metode cincin (washer method), yaitu suatu metode yang menggunakan integral dalam menentukan volume benda putar yang memiliki lubang. Cincin dalam metode ini dibentuk oleh hasil putaran persegi panjang terhadap sumbu putaran tertentu (sumbu putaran tidak berimpit dengan sisi persegi panjang), seperti terlihat pada gambar berikut.

Jika r dan R secara berturut-turut merupakan jari-jari dalam dan luar dari cincin dan tmerupakan ketebalan cincin, maka volumenya dapat ditentukan sebagai berikut.

Untuk mengetahui bagaimana konsep ini dapat digunakan untuk menentukan volume benda putar, perhatikan daerah yang dibatasi oleh jari-jari luar R(x) dan jari-jari dalamr(x), seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.

Jika daerah tersebut diputar menurut sumbu putar yang diberikan, volume benda putar yang dihasilkan adalah

Perhatikan bahwa integral yang melibatkan jari-jari dalam merepresentasikan volume lubang yang dikurangkan dari integral yang melibatkan jari-jari luar. Untuk lebih memahami dalam menemukan volume benda putar dengan metode cincin, perhatikan contoh berikut.

Contoh: Penggunaan Metode Cincin

Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh putaran daerah yang dibatasi oleh grafik dari y = √x dan y = x2 terhadap sumbu-x, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.

Pembahasan Dari gambar di atas dapat ditentukan bahwa jari-jari luar dan dalamnya adalah sebagai berikut.

Dengan mengintegralkan dengan batas antara 0 dan 1, menghasilkan

Cara Menentukan Volume Benda Putar dengan Metode Kulit Tabung

Metode ini disebut metode kulit tabung (shell method) karena metode ini menggunakan volume dari kulit tabung. Perhatikan persegi panjang di bawah ini dengan tadalah panjang dari persegi panjang, l adalah lebar persegi panjang, dan p adalah jarak antara sumbu putaran dengan pusat dari persegi panjang.

Ketika persegi panjang tersebut diputar menurut sumbu putarannya maka akan dihasilkan kulit tabung dengan ketebalan l. Untuk menentukan volume kulit tabung tersebut, perhatikan dua tabung (tabung luar dan dalam) yang nampak pada gambar di atas. Jari-jari tabung yang lebih besar merupakan jari-jari luar dari kulit tabung, dan jari-jari dari tabung yang lebih kecil merupakan jari-jari dalam dari kulit tabung. Karena padalah rata-rata dari jari-jari kulit tabung, dan diketahui bahwa jari-jari luarnya p + l/2 dan jari-jari dalamnya p – l/2.

Maka, volume dari kulit tabung adalah

Rumus di atas dapat digunakan untuk menentukan volume dari benda putar. Anggap bidang datar pada gambar di bawah diputar menurut sumbu putarnya sehingga dihasilkan suatu benda putar.

Apabila diperhatikan lebar dari persegi panjang tersebut adalah Δy, maka persegi panjang yang diputar terhadap garis yang sejajar dengan sumbu-x akan menghasilkan suatu kulit tabung yang volumenya

Volume dari benda putar di atas dapat didekati dengan menggunakan volume n kulit tabung yang tebalnya Δy, tinggi t(yi) dan rata-rata jari-jarinya p(yi).

Pendekatan ini akan semakin baik dan semakin baik jika ||Δ|| → 0 atau n → ∞. Sehingga, volume benda putar tersebut adalah

Jadi, dari perhitungan di atas telah ditemukan rumus alternatif yang dapat digunakan untuk menentukan volume benda putar. Perhatikan kesimpulan berikut.

METODE KULIT TABUNGUntuk menentukan volume benda putar dengan metode kulit tabung, gunakan salah satu dari rumus berikut, seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawahnya.
Sumbu putarnya horizontal,

Sumbu putarnya vertikal,

Untuk lebih memahami dalam menentukan volume benda putar dengan menggunakan metode kulit tabung, perhatikan beberapa contoh berikut.

Contoh I: Penggunaan Metode Kulit Tabung untuk Menentukan Volume

Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh putaran daerah yang dibatasi oleh

dan sumbu-x (0 ≤ x ≤ 1) dengan sumbu putarannya adalah sumbu-y.

Pembahasan Karena sumbu putarannya vertikal, gunakan persegi panjang vertikal, seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah.

Ketebalan Δx mengindikasikan bahwa x merupakan variabel dalam proses integrasi yang akan dilakukan. Jarak antara pusat persegi panjang dengan sumbu putaran adalah p(x) =x, dan tingginya adalah

Karena rangenya antara 0 sampai 1, maka volume benda putar yang terbentuk dapat ditentukan sebagai berikut.

Contoh II: Penggunaan Metode Kulit Tabung untuk Menentukan Volume

Tentukan volume benda putar yang dibentuk oleh putaran daerah yang dibatasi oleh

dan sumbu-y (0 ≤ y ≤ 1) dengan sumbu-x sebagai sumbu putarnya.

Pembahasan Karena sumbu putarannya horizontal, gunakanlah persegi panjang horizontal, seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.

Jarak antara pusat persegi panjang dan sumbu putarannya adalah p(y) = y, dan panjang dari persegi panjangnya adalah

Karena range dari y dari 0 sampai 1, maka volume benda putarnya dapat ditentukan sebagai berikut.

Penggunaan Iterasi dalam Penyelesaian Relasi Rekursif

Misalkan kita memiliki suatu barisan yang memenuhi relasi rekursif dan kondisi awal tertentu. Akan sangat membantu apabila kita mengetahui rumus eksplisit dari barisan tersebut, khususnya jika kita diminta untuk menentukan suku dengan indeks yang sangat besar atau jika kita diminta untuk menguji sifat-sifat dari barisan tersebut. Rumus eksplisit yang seperti itu disebut sebagai selesaian dari relasi rekursif. Sebagai contoh, pada pembahasan ini kita akan menunjukkan bahwa barisan Menara Hanoi akan memenuhi rumus,

dan barisan bunga majemuk akan memenuhi rumus,

Barisan-barisan Menara Hanoi dan bunga majemuk merupakan 2 dari 3 contoh yang disajikan pada pembahasan relasi rekursif sebelumnya.

Metode Iterasi

Metode paling dasar dalam menentukan rumus eksplisit dari barisan yang didefinisikan secara rekursif adalah metode iterasi. Cara kerja iterasi seperti berikut: Diberikan barisana0, a1, a2, … yang didefinisikan oleh relasi rekursif dan kondisi awalnya, kita akan menentukan beberapa suku awal dari barisan tersebut untuk melihat pola yang terbentuk. Jika kita sudah menemukan polanya, kita dapat menebak rumus eksplisit dari barisan tersebut.

Contoh 1: Menentukan Rumus Eksplisit

Misalkan a0, a1, a2, … merupakan barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut: Untuk setiap bilangan bulat k ≥ 1,

Gunakan metode iterasi untuk menebak rumus eksplisit dari barisan tersebut.

Pembahasan Perhatikan bahwa relasi rekursif,

berarti

berapapun bilangan bulat positif yang disubstitusikan ke kotak □. Secara lebih khusus,

dan seterusnya. Sekarang kita gunakan kondisi awal untuk memulai proses substitusi pada persamaan-persamaan tersebut. Tetapi, selain substitusi bilangan, kita juga akan menuliskan ekspresi numerik di dalamnya.

Alasan mengapa kita juga perlu menuliskan ekspresi numeriknya adalah agar kita menemukan pola yang ada dalam barisan tersebut. Dalam menuliskan ekspresi numerik tersebut sebaiknya kita melakukan penyingkatan notasi pada penjumlahan, pengurangan, atau perkalian yang berulang. Sehingga, sebagai contoh, kita sebaiknya menuliskan 5 ∙ 2 daripada 2 + 2 + 2 + 2 + 2 dan 25 daripada 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2. Sebagai catatan, kita tidak akan kehilangan informasi apapun mengenai pola bilangan ketika kita menggunakan notasi tersebut.

Berikut ini proses yang kita gunakan untuk menentukan pola dari barisan di atas.

Karena akan lebih membantu jika kita menuliskan k ∙ 2 untuk menggantikan 2 + 2 + … + 2 (k kali), maka kita lakukan hal tersebut dimulai dari a0.

Jawaban di atas hanyalah suatu dugaan. Untuk menguji kebenaran dari dugaan di atas kita dapat mengujinya dengan menggunakan induksi matematika.

Barisan seperti pada contoh 1 di atas, yang masing-masing sukunya sama dengan suku sebelumnya ditambah dengan suatu konstanta tertentu, disebut barisan aritmetika.

Definisi Barisan Aritmetika
Suatu barisan a0, a1, a2, … disebut barisan aritmetika jika dan hanya jika ada suatu konstanta b sedemikian sehingga,

Akibat langsungnya adalah,