Langkah Menggambar Diagram Batang

Dalam suatu sekolah, terdapat 5 kelas untuk kelas IX, yaitu kelas IX A sampai IX E. Pada suatu ujian matematika, masing-masing kelas IX tersebut memiliki nilai rata-rata berikut: Kelas IX A memiliki rata-rata 77,5, rata-rata kelas IX B 79,2, rata-rata kelas IX C 85,8, rata-rata kelas IX D 76,7, dan rata-rata kelas IX E 84,3. Nilai rata-rata tersebut akan sedikit sulit untuk dibandingkan apabila disajikan dalam bentuk kalimat seperti sebelumnya. Terdapat cara menyajikan data yang dapat memudahkan kita untuk memudahkan dalam membandingkan masing-masing kategori, yaitu dengan diagram batang.

Langkah pertama dalam membuat diagram batang adalah membuat dua sumbu mendatar dan tegak. Sumbu mendatar memperlihatkan kategori, sedangkan sumbu tegak menyatakan nilai/frekuensi dari masing-masing kategori. Berikut ini contoh diagram batang yang menyajikan data rata-rata nilai ujian matematika kelas IX A – IX E pada kasus sebelumnya.

Dari diagram batang di atas kita dapat mengamati bahwa kelas IX A, IX B, dan IX D merupakan kelas yang memiliki rata-rata yang hampir sama dan berada di bawah dua kelas lainnya, yaitu kelas IX C dan IX E.

Selanjutnya perhatikan tabel yang menyajikan data suhu terendah dan tertinggi dari beberapa kota berikut!

Dari tabel tersebut kita dapat menggambar diagram batang yang menyajikan suhu terendah dan tertinggi dari masing-masing kota sekaligus. Perhatikan diagram batang berikut!

Dari dua diagram batang pada contoh sebelumnya, kita dapat membandingkan nilai dari masing-masing kategori. Pada diagram pertama, kita dapat membandingkan nilai rata-rata dari masing-masing kelas IX. Sedangkan pada diagram kedua, kita dapat membandingkan suhu terendah dan suhu tertinggi sekaligus dari masing-masing kota. Dari kedua contoh tersebut kita dapat menyimpulkan bahwa diagram batang sangat tepat digunakan untuk membandingkan nilai/frekuensi dari masing-masing kategori.

Penurunan Rumus Volume Limas dan Kerucut

Menemukan Rumus Volume Limas dan Kerucut

Dalam melakukan investigasi ini, kalian akan menggunakan sepasang wadah yang berbentuk prisma dan limas, sepasang wadah yang berbentuk tabung dan kerucut, serta air. Siapkan benda-benda tersebut, kemudian lakukan langkah-langkah berikut:

1. Pilihlah prisma dan limas yang memiliki alas dan tinggi yang kongruen.
2. Isilah limas tersebut dengan air hingga penuh, kemudian tuangkan air tersebut ke dalam prisma hingga tanpa sisa. Berapa bagiankah air tersebut mengisi prisma tersebut?
3. Cek jawabanmu dengan mengulangi langkah ke-2 hingga prisma penuh terisi air.

Pilihlah tabung dan kerucut yang memiliki alas dan tinggi yang kongruen kemudian ulangi langkah ke-2 dan ke-3.

Apa yang dapat kamu simpulkan dari investigasi di atas? Bagaimana hubungkan antara volume prisma dengan limas, dan volume tabung dengan volume kerucut? Setelah kita lakukan investigasi di atas, ternyata kita temukan bahwa volume prisma sama dengan tiga kali volume limas. Atau dengan kata lain volume limas sama dengan sepertiga dari volume prisma. Hubungan ini juga berlaku untuk kerucut dan tabung. Karena rumus volume prisma dan tabung adalah V = A ∙ t, untuk A luas alas dan t tinggi prisma atau tabung, maka volume dari limas dan kerucut dapat dirumuskan sebagai berikut.

Rumus Volume Limas dan KerucutJika A dan t secara berturut-turut adalah luas alas dan tinggi dari limas atau kerucut, maka volume dari limas atau kerucut tersebut adalah V = 1/3 ∙ A ∙ t.

Sehingga, untuk mencari volume dari limas atau kerucut, pertama-tama kita harus menentukan luas dari alasnya. Setelah itu kalikan luas alas tersebut dengan sepertiga dan tinggi dari limas atau kerucut tersebut. Untuk lebih memahami mengenai volume limas dan kerucut, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal

Tentukanlah volume dari masing-masing bangun ruang berikut. Semua satuan ukuran yang digunakan adalah cm.

Gambar (i) adalah kerucut, gambar (ii) adalah limas persegi, sedangkan gambar (iii) adalah tabung yang dipotong oleh kerucut.

Pembahasan Contoh Soal

Volume dari kerucut yang memiliki jari-jari alas 9 cm dan tinggi 16 cm dapat ditentukan sebagai berikut.

V = 1/3 ∙ A ∙ t = 1/3 ∙ π ∙ r2 ∙ t = 1/3 ∙ π ∙ 92 ∙ 16 = 432π

Sehingga, volume dari kerucut di atas adalah 432π cm2. Volume dari limas persegi yang memiliki sisi alas 8 cm dan tingginya 21 cm dapat dicari sebagai berikut.

V = 1/3 ∙ A ∙ t = 1/3 ∙ 82 ∙ 21 = 448

Sehingga, volume dari limas persegi tersebut adalah 448 cm2. Sedangkan volume tabung yang dipotong oleh kerucut dengan diameter 18 cm dan tinggi 35 cm dapat dicari seperti berikut.

V = A ∙ t – 1/3 ∙ A ∙ t = 2/3 ∙ A ∙ t = 2/3 ∙ (1/4 ∙ π ∙ d2) ∙ t = 2/3 ∙ (1/4 ∙ π ∙ 182) ∙ 35 = 1.890π

Jadi, volume dari tabung yang dipotong oleh kerucut di atas adalah 1.890π cm2

Rumus Menghitung Jarak Antara titik dan Garis

Jarak merupakan salah satu permasalahan matematika yang sering dijumpai di sekitar kita. Jarak dapat diukur di antara dua objek, seperti rumah dengan kantor pos, rumah sakit dengan jalan raya, dan jalan raya dengan jalan raya lainnya. Pada pembahasan ini hanya akan dibahas mengenai jarak antara dua objek yang berupa titik dan garis lurus. Perhatikan contoh permasalahan berikut.

Seperti terlihat pada gambar di atas, Vihara Dharma Agung terletak pada koordinat (71, 76) dan Jalan Sungai Kelara berupa garis lurus dengan persamaan 5x – 8y – 280 = 0 (satuan dalam meter). Bagaimana cara mengukur jarak antara vihara dengan jalan tersebut? Salah satunya adalah dengan menggunakan rumus jarak antara titik dengan garis lurus.

Menemukan Rumus Jarak Titik dengan Garis

Misalkan akan ditentukan jarak antara titik A(a, b) dengan garis lurus yang memiliki persamaan px + qy + r = 0. Perhatikan gambar berikut.

Perlu diingat bahwa jarak dua objek adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan kedua objek tersebut. Karena ruas garis yang tegak lurus dengan garis px+ qy + r = 0 dan memiliki ujung di titik A dan ujung satunya di garis tersebut merupakan lintasan terpendek yang menghubungkan titik dan garis tersebut, maka panjang dari ruas garis tersebut, yaitu d, adalah jarak titik A terhadap garis px + qy + r = 0.

Karena px + qy + r = 0 ó y = −(p/q)x – (r/q) maka gradien garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 adalah q/p, karena −(p/q) × q/p = −1. Selain tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0, garis tersebut juga melalui titik A(a, b), sehingga

Diperoleh, persamaan garis yang tegak lurus dengan garis px + qy + r = 0 dan melalui titikA(a, b) adalah

Setelah persamaan garisnya diperoleh, titik potong garis px + qy + r = 0 dan garis tersebut dapat ditentukan. Pertama, tentukan nilai absisnya, x2,  terlebih dahulu.

Selanjutnya, kita tentukan nilai dari ordinatnya (y2).

Setelah koordinat (x2, y2) sudah ditemukan, maka selanjutnya kita tentukan jarak antara titik tersebut dengan titik A(a, b), dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,

Agar lebih sederhana, kita tentukan x2 – x1 dan y2 – y1 terlebih dahulu, yaitu

dan,

Sehingga jarak antara titik (x2, y2) dan A(a, b) dapat ditentukan sebagai berikut.

Sehingga kita telah memperoleh rumus untuk menentukan jarak antara suatu titik dengan garis lurus, yang dapat dituliskan seperti berikut.

Jarak antara titik yang memiliki koordinat (a, b) dengan garis lurus yang persamaannya px + qy + r = 0, adalah

Setelah kita menentukan rumusnya, sekarang kita akan coba untuk menghitung jarak antara Vihara Dharma Agung dan Jalan Sungan Kelara pada permasalahan di awal.

Jadi, jarak antara Vihara Dharma Agung dan Jalan Sungan Kelara adalah sekitar 56,5 meter. Selanjutnya perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal: Menentukan Jarak antara Titik dan Garis Lurus

Tentukan jarak antara titik yang memiliki koordinat (−2, 3) dan garis yang memiliki persamaan 3x – 4y – 7 = 0.

Pembahasan Substitusi a = −2, b = 3, p = 3, q = −4, dan r = −7 ke rumus jarak titik dan garis.

Jadi, jarak antara titik yang memiliki koordinat (−2, 3) dan garis yang memiliki persamaan 3x – 4y – 7 = 0 adalah 5 satuan panjang. 

Cara Mengajarkan Volume Bola dengan Kontekstual Learning

Pada kesempatan kali ini akan dibahas mengenai bagaimana cara menemukan rumus volume suatu bola. Dalam pembahasan kali ini akan digunakan suatu konsep yang dinamakan Prinsip Cavalieri. Prinsip Cavalieri menyatakan bahwa,

Jika dua bangun ruang memiliki luas bidang irisan yang sama jika diiris pada ketinggian yang sama, maka kedua bangun ruang tersebut memiliki volume yang sama.

Dengan menggunakan prinsip ini, akan didemonstrasikan bahwa kedua bangun ruang di bawah ini memiliki volume yang sama.

Setengah bola memiliki jari-jari r. Bangun ruang di sebelah kanan adalah suatu tabung yang memiliki tinggi r dan jari-jari r yang dipotong oleh kerucut dengan tinggi r dan jari-jari r. Akan didemonstrasikan bahwa jika kedua bangun ruang di atas diiris pada ketinggian yang sama, bidang irisannya akan memiliki luas yang sama. Kemudian akan digunakan Prinsip Cavalieri untuk menunjukkan bahwa kedua bangun ruang di atas memiliki volume yang sama. Pada pembahasan kali ini, pembaca dianggap telah mengetahui rumus untuk menghitung volume tabung dan kerucut. Dengan demikian, volume “tabung dikurangi kerucut” di atas dapat dihitung. Setengah bola di atas seharusnya memiliki volume yang sama dengan “tabung dikurangi kerucut”. Bingung? Mari kita bahas secara lebih dalam.

Gambar sebelah kiri pada gambar di bawah ini merupakan suatu setengah bola yang memiliki jari-jari 15 cm. Kemudian setengah bola tersebut diiris dengan ketinggian 9 cm dari bawah dan menghasilkan bidang irisan yang berbentuk lingkaran. Di sebelah kanan setengah bola adalah suatu tabung yang memiliki tinggi 15 cm dan jari-jari 15 cm yang dipotong oleh kerucut yang memiliki tinggi 15 cm dan jari-jari 15 cm. Bangun ruang ini juga diiris dari ketinggian 9 cm dan menghasilkan suatu bidang irisan berbentuk menyerupai cincin.

Untuk menghitung nilai x pada gambar di atas, digunakan Teorema Pythagoras:

x2 + 92 x2 x2 x2 x

= 152 = 152 – 92 = 225 – 81 = 144 = 12

Sehingga luas dari bidang irisan lingkaran adalah,

Llingkaran = πr2 = π(12)2 = 144π

Kemudian akan dihitung luas bidang irisan cincin pada gambar kanan di atas. Karena tinggi dan jari-jari kerucut adalah sama, maka segitiga siku-siku besar di atas adalah segitiga sama kaki. Demikian juga dengan segitiga siku-siku yang kecil. Sehingga diperoleh y = 9.

Lcincin = πR2 – πr2 = π(152) – π(92) = π(225 – 81) = 144π

Pada penghitungan di atas menunjukkan bahwa kedua bidang irisan di atas memiliki luas yang sama.

Latihan

1. Suatu setengah bola yang berjari-jari 15 cm diiris dari ketinggian 12 cm. Tentukan luas bidang irisan yang terbentuk.
2. Suatu “tabung dikurangi kerucut” yang memiliki tinggi dan jari-jari 15 cm diiris dari ketinggian 12 cm. Tentukan luas bidang irisan yang terbentuk.

Pada pembahasan sebelumnya ditunjukkan bahwa dua bidang irisan dari dua bangun datar setengah bola dan “tabung dikurangi kerucut” memiliki luas yang sama jika diiris dengan ketinggian 9 cm dari alas. Pada latihan, juga ditunjukkan bahwa kedua bidang irisan pada soal nomor 1 dan 2 memiliki luas bidang irisan yang sama. Kemudian logis jika muncul suatu dugaan bahwa bidang irisan dari setengah bola dan “tabung dikurangi kerucut” memiliki luas yang sama apabila diiris dari ketinggian yang sama. Untuk mendemonstrasikan bahwa setengah lingkaran dengan jari-jari r dan “tabung dikurangi kerucut” yang memiliki tinggi dan jari-jari r, memiliki luas bidang irisan yang sama jika diiris dengan sebarang ketinggian h dari alas, akan ditemukan luas bidang irisan dari masing-masing bangun ruang tersebut dari ketinggian h.

Luas dari bidang irisan yang berbentuk lingkaran adalah πx2. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, diperoleh x2 + h2 = r2. Sehingga x2 = (r2 – h2). Dengan sedikit perhitungan aljabar, diperoleh luas bidang irisan lingkaran adalahπ(r2 – h2).

Luas dari bidang cincin adalah πr2 –πy2. Akan tetapi, karena x dan yadalah kaki-kaki dari segitiga sama kaki, maka y = x. Sehingga diperoleh luas cincin adalah π(r2) – π(h2). Dengan pemfaktoran diperoleh, π(r2– h2)

Karena dipilih sebarang tinggi, dan kedua bidang irisan di atas memiliki luas π(r2 – h2), maka kedua bangun ruang di atas (setengah bola dan “tabung dikurangi kerucut”) memiliki volume yang sama, berdasarkan Prinsip Cavalieri.

Volume dari “tabung dikurangi kerucut” dapat dihitung dengan mengurangkan volume tabung dengan volume kerucut. Volume yang diperoleh sama dengan volume setengah lingkaran.

Vtabung

= A x t = (πr2)r = πr3

Vkerucut

= (1/3)A x t = (1/3)(πr2)r = (1/3)πr3

Sehingga, volume dari “tabung dikurangi kerucut” adalah πr3 – (1/3)πr3 atau (2/3)πr3. Dengan menggunakan Prinsip Cavalieri, setengah bola juga memiliki volume (2/3)πr3. Karena volume bola adalah dua kali volume setengah bola, maka dapat diperoleh volume bola. Nyatakan kesimpulanmu pada konjektur berikut ini.

Volume bola yang berjari-jari r adalah –?—. (Konjektur Volume Bola)

Cara Menemukan Rumus Volume Bola

Seperti kita ketahui, rumus volume tabung sama dengan rumus volume prisma, yaitu luas alas dikalikan tinggi. Karena tabung memiliki alas yang berbentuk lingkaran, maka rumus volumenya adalah πr2t. Bagaimana menggunakan rumus volume tabung ini untuk menentukan rumus volume bola. Perhatikan ilustrasi berikut!

Dari ilustrasi tersebut dapat diperhatikan bahwa, untuk mengisi air hingga penuh ke dalam tabung yang memiliki jari-jari sama dengan jari-jari bola dan tingginya dua kali jari-jari bola, diperlukan tiga kali pengisian oleh setengah bola. Pernyataan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

Sehingga, rumus volume bola adalah 4/3 ∙ πr3. 

Cara Menggambar Diagram Lingkaran

Pada permulaan tahun ajaran baru biasanya masing-masing kelas mengadakan pemilihan ketua kelas. Begitupun dengan kelas IX C. Calon ketua kelas dari IX C adalah Roni, Memei, Andre, dan Naysilla. Setelah dilakukan pemilihan dengan cara voting, diperoleh data sebagai berikut.

Dari pemilihan tersebut kita dapat memperoleh: Roni mendapatkan 7 suara, Memei 11 suara, Andre 13 suara, dan Naysilla 9 suara. Tentunya kamu sudah mengetahui dengan mudah bahwa Andre-lah yang akan menjadi ketua kelas IX C. Akan tetapi kita tidak mudah untuk melihat seberapa besar perbandingan suara Andre, atau yang lainnya, dengan jumlah suara secara keseluruhan.

Untuk itu, kita perlu untuk menggambar diagram lingkaran. Diagram lingkaran digunakan untuk mengetahui perbandingan suatu data dengan keseluruhan. Selanjutnya mari kita cari persentase masing-masing suara terhadap jumlah seluruh suara.

Jumlah seluruh suara: 7 + 11 + 13 + 9 = 40 suara. Sehingga, persentase suara Roni: 7/40 × 100% = 17,5%. Persentase suara Memei: 11/40 × 100% = 27,5%. Persentase suara Andre: 13/40 × 100% = 32,5%. Sedangkan persentase suara Naysilla: 9/40 × 100% = 22,5%. Selanjutya kita cek jumlah persentasenya: 17,5% + 27,5% + 32,5% + 22,5% = 100%. Karena jumlah persentasenya 100%, maka perhitungan kita benar.

Persentase suara masing-masing calon ketua kelas ini akan kita masukkan ke dalam juring-juring lingkaran. Sehingga kita harus tahu berapa derajat yang dapat mewakili peroleh suara masing-masing calon tersebut.

Besar sudut satu putaran adalah 360°. Sehingga besar sudut Roni: 7/40 × 360° = 63°. Besar sudut Memei: 11/40 × 360° = 99°. Besar sudut Andre 13/40 × 360° = 117°. Sedangkan besar sudut Naysilla adalah 9/40 × 360° = 81°. Sekarang kita cek jumlah sudutnya: 63° + 99° + 117° + 81° = 360°. Karena hasilnya 360°, maka perhitungan kita benar.

Langkah selanjutnya adalah membuat diagram lingkaran yang dibagi menjadi 4 juring dengan besar sudut pusat masing-masing juring 63°, 99°, 117°, dan 81°.

Cara Mengajarkan Luas Permukaan Bola

Pada investigasi ini kalian akan memvisualisasikan permukaan bola yang ditutupi suatu bentuk yang sangat kecil dan mendekati datar, atau kita sebut saja “hampir poligon”. Sehingga luas permukaan bola (L) merupakan penjumlahan dari luas “hampir poligon” tersebut. Apabila kalian membayangkan jari-jari bola yang menghubungkan titik-titik sudut “hampir poligon” tersebut, maka kalian akan menemukan bangun ruang yang menyerupai limas, atau kita sebut saja “hampir limas”. Apabila diperhatikan, “hampir poligon” merupakan sisi alas dari “hampir limas”, dan jari-jari dari bola merupakan tinggi dari “hampir limas” tersebut. Sehingga, volume dari bola (V) merupakan penjumlahan dari volume “hampir limas” yang terbentuk akibat “hampir poligon” dan jari-jari lingkaran. Dan selanjutnya, kita lakukan beberapa manipulasi aljabar.

Bola sepak yang pada permukaannya terdapat “hampir segilima”

Langkah 1. Bagi permukaan bola menjadi 1000 “hampir poligon” yang masing-masing luasnya L1, L2, …, L1000. Sehingga, luas permukaan bola (L) merupakan penjumlahan dari luas 1000 “hampir poligon”.

L = L1 + L2 + … + L1000

Langkah 2. Volume limas dengan alas L1 adalah 1/3(L1)r, sehingga total dari volume bola, V, merupakan penjumlahan dari volume 1000 limas.

V = 1/3(L1)r + 1/3(L2)r + … + 1/3(L1000)r

Langkah 3. Padahal seperti kita ketahui bahwa volume bola adalah V = 4/3(πr3). Substitusikan rumus ini ke persamaan pada langkah 2, sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut.

4/3(πr3) = 1/3(L1)r + 1/3(L2)r + … + 1/3(L1000)r

Dengan mengalikan 3/r pada masing-masing ruas akan diperoleh persamaan berikut ini.

4πr2 = L1 + L2 + … + L1000

Karena luas permukaan bola, L, merupakan penjumlahan dari luas 1000 “hampir limas”, maka L = L1 + L2 + … + L1000. Sehingga,

L = 4πr2

Kesimpulan

Rumus luas permukaan bola, L, yang berjari-jari r adalah 4πr2.

Agar lebih memahami mengenai bagaimana penerapan rumus luas permukaan bola dalama pemecahan masalah, perhatikan contoh soal berikut ini.