Limit Fungsi

Misalkan kita diminta untuk mensketsa grafik fungsi f, yaitu:

Untuk semua nilai selain x = 1, kita dapat menggunakan teknik-teknik mensketsa kurva seperti biasa. Akan tetapi, ketika x = 1, kita tidak dapat menentukan nilainya. Lalu bagaimana dengan bentuk grafiknya ketika x = 1? Untuk mengetahui sifat grafik fungsi ketika mendekati x = 1, kita dapat menggunakan 2 himpunan nilai x–himpunan xmendekati 1 dari kiri dan himpunan x mendekati 1 dari kanan, seperti yang ditunjukkan oleh tabel berikut.

Grafik dari fungsi f berbentuk parabola yang berlubang pada titik (1, 3), seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah.

Walaupun x tidak boleh 1, kita dapat menentukan nilai f ketika x mendekati 1 dan diperoleh f(x) akan mendekati 3. Dengan menggunakan notasi limit, kita dapat menulis

Pembahasan ini selanjutnya membawa kita kepada definisi limit yang tidak formal. Jika nilai f(x) mendekati suatu nilai L ketika x mendekati nilai c, maka limit f(x) dengan xmendekati c adalah L. Limit ini dapat ditulis sebagai,

Contoh 1: Menaksir Nilai Limit secara Numerik

Tafsirlah nilai fungsi, f(x) = x/(√(x + 1) – 1) pada beberapa titik yang dekat dengan x = 0 dan gunakan hasil tersebut untuk menentukan nilai limit,

Pembahasan

Tabel berikut menyajikan nilai-nilai f(x) untuk beberapa x yang mendekati 0.

Dari hasil yang ditampilkan tabel, kita dapat menaksirkan nilai limitnya adalah 2. Nilai limit ini diperkuat oleh grafik fungsi f berikut.

Perhatikan bahwa pada contoh 1 di atas, fungsi f tidak terdefinisi di x = 0, namun nilai limit f(x) dapat ditentukan ketika x mendekati 0. Hal ini sering terjadi dan patut dicatat bahwa ada atau tidaknya nilai f(x) pada x = c tidak mempengaruhi keberadaan nilai limit dari f(x) ketika x mendekati c.

Contoh 2: Menemukan Nilai Limit

Tentukan nilai limit dari f(x) ketika x mendekati 2, apabila fungsi f didefinisikan sebagai berikut:

Pembahasan

Karena f(x) = 1 untuk setiap x selain x = 2, maka kita dapat menyimpulkan bahwa nilai limitnya adalah 1, seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah.

Sehingga kita dapat menuliskan,

Hal ini sesuai dengan fakta bahwa f(2) = 0 tidak mempengaruhi keberadaan atau nilai limit ketika x mendekati 2. Sebagai contoh, suatu fungsi yang didefinisikan sebagai

Akan memiliki nilai limit yang sama

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Matriks ternyata punya banyak kegunaan. Salah satunya dalam mencari penyelesaian persamaan linear. Sebelum bisa mengaplikasikan matriks ini, kamu harus tahu terlebih dahulu operasi matematika pad matriks. Dalam kesempatan ini dijelaskan operasi jumlah, operasi kurang dan kesamaan dua matriks.

Sebuah matriks, dimisalkan matriks A. Anggota atau elemen dari matriks A diberi simbol 'a'. Posisi tersebu dilengkapi dengan indeks yang berfungsi sebagai penunjuk posisinya. Lebih lengkap disimbolkan dengan $a_{ij}$. Dimana i adalah posisi baris dari elemen tersebut dan j adalah posisi kolom pada baris tersebut. Akhirnya sebuah matriks yang utuh bisa ditulis dalam bentuk:

Contoh Matriks

Dalam matriks akan ditemukan istilah Ordo. Ordo artinya adalah ukuarn matriks. Dari contoh matriks di atas artinya memiliki ordo mxn. Artinya matriks A memiliki m baris dan n kolom. Sekarang perhatikan contoh matriks di bawah ini,

$A= \begin{pmatrix}1 &4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$

$B= \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 4 &3 \\  -5& 6 \end{pmatrix}$

Matriks A memiliki ordo 2x2. Sementara Matriks B memiliki ordo 3x2. Sekarang bisakah kamu menyebutkan entri $a_{21}$,  $b_{12}$.

Untuk $a_{21} =-2$. Kenapa karena posisi baris 2 kolom 1 ditempati oleh angka -2. Begitu juga dengan $b_{12}=2$. Posisi baris 1 kolom dua ditempati oleh angka 2.

Kesamaan Matriks

Untuk mengatakan sama, maka harus ada dua buah yang dibandingkan. Antara dua matriks dikatakan sama bila memiliki ordo yang sama dan nilai setiap entri yang bersesuai juga sama. Misalkan dikatakan matriks A memiliki kesamaan dengan Matriks B. Maka, ordo A = ordo B. Dan setiap entri yang bersesuain 

$ a_{11} = b_{11} \\  a_{12} =b_{12} \\ dst.$ 

Contoh Kesamaan Matriks 

$A= \begin{pmatrix} 1 &4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \\ B=\begin{pmatrix} 3 & -2\\  1& 4 \end{pmatrix} \\ C=\begin{pmatrix} 3 & -2\\  1& 4 \end{pmatrix}$

Matriks A tidak sama dengan Matriks B, karena meskipun berordo sama. Entri pada masing masing sama tetapi posisinya berbeda.

Sementara Matriks B memiliki kesamaan dengan matriks C. Karena ordo sama dan entri serta posisi entri nya juga sama.

Operasi Jumlah dan Kurang pada Matriks

Untuk operasi jumlah dan kurang pada matriks harus memenuhi syarat antara ke dua matriks tersebut memiliki ordo yang sama. Jika tidak, maka tidak bisa dilakukan operasi jumlah atau kurang antara ke-dua matriks tersebut. Hasilnya berupa matriks baru dengan ordo yang sama dengan matriks Awal.

Setelah itu baru dilakukan penjumlahan atau pengurangan entri yang seletak. 

$a_{11}+b_{11} =... \\ a_{12}+b_{12}=... \\ dst. $

Agar lebih mudah kamu bisa lihat contoh soal di bawah ini.

1. A + C
2. A + B
3. C – A

1. Karena ordo Matriks A dan matriks C  sama, (3 × 2.),  maka Matriks A dan C bisa  dilakukan operasi jumlah.
   
2. Karna matriks A dan Matriks B ordonya tak sama, tak bisa dijumlahkan
3. Matriks C  dan Matriks A memiliki ordo yang sama, maka antara ke dua matriks ini bisa dikurangkan.
   

Pada pejumlahan Matriks berlaku sifat Komutatif, Asosiatif, identitas dengan ada matriks identitas penjumlahan. Matriks identitas untuk penjumlahan matriks adalah matriks yang semua entrinya adalah 0.

Penurunan Rumus Volume Prisma dan Tabung

Dalam keseharian hidup, kamu tak jarang akan menemukan sebuah problem yang berhubungan dengan volume. Contohnya nih, kalau kamu pergi ke supermarket dan beli sebuah produk minuman. Kamu akan bandingin volume dan harga dari beberapa jenis yang ada disana. Tujuannya tentu agar ketika beli minuman tersebut kamu tak merasa rugi. Ya kalau bisa isinya (volume) banyak dan hargannya murah, dan rasanya juga uenak.

Nah itu baru saat belanja. Sebenarnya ada beberapa pekerjaan yang sejarinya menggunakan prinsip volume agar pekerjaan mereka terlkasan dengan baik. Contohnya nih seorang yang membangun jembatan, dia harus memperhitungkan berat dan volume jembatan tersebut agar kuat. Meningat ada tekanan dll akibat volume dan berat ini. Ah, kamu bisa tanya guru fisika aja masalah ini.

Dan contoh kerjaan lain yang butuh perhitungan volume adalah Chef alias tukang masak. Untuk mendapatkan sebuah masakah yang perfecto lezato, ya pastinya takarang banyaknya bahan yang dimasukkan harus proporsional, bukankah ini dibutuhkan pengetahuan tentang volume.

Sekarang apa itu Volume? Volume artinya adalah sebuah jumlah yang mengungkapkan jumlah ruang yang ada dalam sebuah bangun ruang (3 dimensi). Agar menyamakan, biasanya digunakan sebuah satuan dalam pengukuran volume. Contohnya liter, meter kubik, centimeter kubik, barrel dll. Volume sebuah objek secara kata-kata bisa dinyatakan sebagai banyaknya satuan kubus satuan yang bisa diletakkan dalam objek tersebut.

Bagaimana Cara Menemukan Rumus Volume Prisma dan Tabung?

Sekarang kamu ikuti langkah berikut ini ya, bagaimana bisa menemukan rumus volume prisma dan tabung.

Step 1. Coba temukan volume dari dua buah prisma segiempat di bawah ini. Anggap semua satuan dalam cm.

Cara paling sederhana adalah dengan menghitung banyaknya kubus satuan. Begitu juga untuk tinggi prisma pada gambar di atas. Kita bisa simpulkan bahwa luas daerah alas dan tinggi merupakan kunci dasar untuk tahu 'berapa' ruang yang ada dalam prisma tersebut.

Jadi, dengan demikian bisa dikatakan Volume Prisma dengan alas segi empat adalah $V= L_{alas}.t$

Bagaimana kalau alas dari prisma bukan persegi panjang atau persegi? Misalnya pada bangun yang terlihat pada gambar di bawah ini,

Alas dari prisma di atas ada yang segitiga dan ada yang lingkaran serta ada yang bentuknya tak beraturan. Demikian juga, untuk sisi alas kita tetap menghitung luas persegi kecil yang menempati alas tersebut. Oleh sebab itu tetap digunakan rumus $V=L_{alas}.t$.

Lalu, kalau Bangunnya Miring? Bagaimana cara mencari Volume Prisma miring?
Kamu perhatikan gambar gambar di bawah ini.

Dari miring-miringnya benda tersebut, bila disusun menjadi rapi dan lurus, maka tetap saja akan membentuk prisma yang utuh. Kesimpulannya di sini, untuk Volume prisma tetap digunakan rumus: $V=L_{alas}.t$.

Langkah Melukis Segitiga Sama Sisi

Untuk melukis segitiga sama sisi kamu harus tahu apa pengertian segitiga sama sisi. Pengertian segitiga sama sisi adalah sebuah segitiga dengan semua sisinya memiliki panjang yang sama. Oleh sebab itu, karena sisinya sama panjang, maka ke-tiga sudutnya jua sama besar.

Jumlah semua sudut segitiga adalah $180^0$. Jadi kita bisa tahu besarnya sudut pada sebuah segitiga sama sisi adalah $\frac {180^0}{3} = 60^0$. 

Dalam melukis segitiga sama sisi kali ini kita akan butuh alat yang harus kamu sediakan. Alat yang kita butuhkan adalah penggaris, kertas, jangka dan pensil. Sangat disarankan menggunakan kertas kotak-kotak.

Langkah dalam melukis segitiga sama sisi. (Andaikan kita akan melukis segitiga ABC).

1) Kamu lukis terlebihi dahulu garis AB.

2) Kemudian kamu buat sebuah busur yang berpusat di B dan melewati titik A. Gunakan jangka pada bagian ini.

3) Kemudian kamu bikin busur dengan pusat di A dan melalui B.

4) Perpotongan antara busur pada langkah ke 2 dan langkah ke 3 kamu beri nama titik C. Selanjutnya hubungkan titik A,B dan C. Sehingga terbentuk garis AB, BC dan CA. Sekarang lihat apa yang kamu dapatkan.

Ketika melukis segitiga sama sisi ini, artinya kamu juga telah mendapatkan ilmu bagaimana cara melukis sudut $60^0$. Sebab setiap sudut dalam segitiga sama sisi tersebut adalah $60^0$. Kemudian, kamu secara tak langsung telah mendapatkan ilmu tentang bagaimana cara melukis sudut $120^0$ dan $300^0$. Lho Koq bica cih?

Sudut $120^0$ merupakan pelurus dari sudut $60^0$. Jika kamu perpanjang garis AB, maka sudut bagian luar yang dibentuk pada titik B atau titik A adalah $120^0$.

Mengenai sudut $300^0$, kamu tahu bukan jika sudut satu putaran besarnya $360^0$. Nah sekarang perhatikan pada titik A. Semua sudut bagian luar dari titik A adalah $300^0$, sebab seluruh sudut $360^0$, sementara untuk sisi bagian dalam $60^0$ dan sisanya pasti $300^0$ untuk sisi luar. Terakhir biar lebih seru, kamu bisa perhatikan animasi berikut untuk melukis segitiga sama sisi