Selamat datang, Kali ini kita akan berbagi tentang Determinan Matriks, Geometri dan Bidang Koordinat. Silahkan dibaca baik-baik tentang Determinan Matriks, Geometri dan Bidang Koordinat ini ya.
Seperti yang telah dikemukakan sebelumnya, determinan matriks tidak hanya digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Determinan dari suatu matriks juga dapat digunakan untuk menentukan luas dari segitiga pada bidang koordinat yang diketahui koordinat ketiga titik sudutnya. Bagaimana bisa?
Sebelum kita menggunakan determinan matriks untuk menentukan luas segitiga, perhatikan permasalahan berikut. Diketahui suatu segitiga ABC dengan A(1, 3), B(6, 5), C(3, 2).
Luas segitiga ABC dapat kita tentukan dengan mengurangkan luas persegi panjang PBQR dengan luas segitiga-segitiga I, II, dan III. Sehingga kita mendapatkan,
Jadi, secara mudah kita mendapatkan luas dari segitiga tersebut adalah 4 ½ persegi satuan. Selanjutnya kita perumum permasalahan di atas. Misalkan diketahui segitiga ABC dengan A(x1, y1), B(x2, y2), dan C(x3, y3) seperti pada gambar berikut.
Seperti pada permasalahan sebelumnya, untuk menentukan luas segitiga ABC, kita tentukan terlebih dahulu luas dari segitiga I, II, dan III.
Sehingga, jumlah dari luas segitiga I, II, dan III adalah
Selanjutnya, luas segitiga ABC dapat ditentukan dengan mengurangi persegi panjang (garis putus-putus) dengan jumlah dari luas segitiga I, II, dan III.
Apabila kita cermati, hasil yang kita peroleh tersebut merupakan setengah dari determinan matriks berikut.
Karena penukaran dua baris dari suatu matriks akan mengakibatkan nilai determinan matriks tersebut berubah tanda, maka kita gunakan nilai mutlak untuk rumus luas segitiga berikut.
Luas Segitiga pada Bidang Koordinat
Diberikan suatu segitiga dengan titik-titik sudutnya (x1, y1), (x2, y2), dan (x3, y3), maka luas, L, dari segitiga tersebut adalah
dengan,
Perhatikan bahwa matriks T memiliki elemen-elemen x pada kolom pertama, y pada kolom kedua dan konstanta 1 pada kolom ketiga. Selain itu, koordinat (x, y) dari suatu titik sudut haruslah dalam satu baris. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.
Contoh 1: Menentukan Luas Segitiga dengan Determinan
Tentukan luas dari segitiga yang titik-titik sudutnya (3, 1), (–2, 3), dan (1, 7).
Pembahasan Pertama kita buat matriks T kemudian kita tentukan determinan dari matriks tersebut.
Selanjutnya, kita hitung luasnya
Jadi, luas dari segitiga tersebut adalah 13 persegi satuan.
Selanjutnya, mungkin kita bertanya-tanya. Bagaimana jika tiga titik yang diberikan kolinear (segaris)? Apabila ketiga titiknya segaris, maka tidak ada segitiga yang terbentuk. Artinya, luasnya sama dengan nol. Hal ini dapat digunakan untuk menguji kekolinearan dari tiga titik.
Uji Titik-titik Kolinear
Tiga titik (x1, y1), (x2, y2), dan (x3, y3) kolinear jika
Contoh 2: Uji Kekolinearan dengan Determinan
Tentukan apakah tiga titik yang diberikan berikut kolinear atau tidak.
- (1, 5), (–2, –1), dan (4, 11)
- (1, 1), (3, –5), dan (–2, 9)
Pembahasan
- Untuk mengetahui titik-titik (1, 5), (–2, –1), dan (4, 11) kolinear atau tidak, pertama kita tentukan determinan matriks yang bersesuaian.
Sehingga, titik-titik (1, 5), (–2, –1), dan (4, 11) terletak pada garis lurus. Untuk memastikan letak ketiga titik tersebut, perhatikan gambar berikut.
- Dengan cara yang sama, kita tentukan apakah titik-titik (1, 1), (3, –5), dan (–2, 9) kolinear atau tidak.
Jadi, ketiga titik (1, 1), (3, –5), dan (–2, 9) tidak kolinear. Perhatikan gambar berikut.
No comments:
Post a Comment