Selamat datang, Kali ini kita akan berbagi tentang Matriks Identitas untuk Operasi Perkalian. Silahkan dibaca baik-baik tentang Matriks Identitas untuk Operasi Perkalian ini ya.
Dari sifat bilangan real, 1 merupakan identitas dari operasi perkalian, karena n ∙ 1 = 1 ∙ n =n. Identitas yang serupa juga terdapat dalam perkalian matriks. Perhatikan matriks berordo 2 × 2,
Walaupun perkalian matriks secara umum tidak komutatif, jika kita dapat menemukan matriks B sedemikian sehingga AB = BA = A, maka B merupakan kandidat utama untuk menjadi matriks identitas, disimbolkan dengan I. Agar matriks hasil AB dan BAmemungkinkan dan memiliki ordo yang sama dengan A, maka matriks B juga harus berordo 2 × 2. Dengan menggunakan sembarang matriks,
kita akan menentukan elemen-elemen dari matriks B tersebut pada Contoh 1 berikut ini.
Contoh 1: Menyelesaikan AB = A untuk Menentukan Matriks Identitas
Untuk,
gunakan perkalian matriks, kesamaan matriks, dan sistem persamaan untuk menentukan nilai dari a, b, c, dan d.
Pembahasan Perkalian pada ruas kiri dari persamaan tersebut memberikan,
Karena elemen-elemen yang bersesuaian haruslah sama (ditunjukkan dengan warna yang sama), kita dapat menentukan nilai a, b, c, dan d dengan menyelesaikan sistem-sistem berikut.
dan,
Dengan mengalikan persamaan pertama dengan 2 kemudian menjumlahkan kedua persamaan pada sistem pertama, kita mendapatkan
Dengan mensubtitusikan c = 0 ke persamaan pertama pada sistem yang pertama, kita mendapatkan
Dengan cara yang serupa untuk menyelesaikan sistem yang kedua, kita mendapatkan b = 0 dan d = 1. Sehingga matriks,
merupakan kandidat untuk menjadi matriks identitas.
Sebelum kita menentukan bahwa B merupakan matriks identitas, kita harus menunjukkan bahwa AB = BA = A.
Contoh 2: Menunjukkan AB = BA = A
Diberikan matriks-matriks A dan B sebagai berikut.
Tentukan apakah AB = A dan BA = A.
Pembahasan
Karena AB = BA = A, maka B merupakan matriks identitas I.
Dengan mengganti semua elemen dari matriks,
dengan elemen-elemen dari matriks umum,
kita dapat menunjukkan bahwa
merupakan identitas bagi semua matriks berordo 2 × 2. Untuk menentukan identitas matriks yang lebih besar, kita menemukan bahwa hanya matriks persegi yang memiliki identitas terhadap perkalian, karena AI = IA merupakan syarat yang utama (perkalian matriks harus mungkin dilakukan dari kedua arah). Hal ini sering disebut sebagaiperkalian dari kanan dan perkalian dari kiri. Dengan menggunakan prosedur yang sama dengan sebelumnya, kita dapat menunjukkan bahwa
merupakan matriks identitas (disimbolkan dengan I3) untuk matriks-matriks yang berordo 3 × 3). Untuk matriks identitas pada perkalian matriks-matriks berordo n × n, In, semua elemen diagonalnya adalah 1 dan 0 untuk elemen yang lainnya. Selain itu, matriks identitas In untuk matriks-matriks persegi adalah unik.
Perhatikan matriks-matriks A dan I3 berikut ini.
Dengan menggunakan Ms. Excel kita dapat menunjukkan bahwa AI3 = A = I3A sebagai berikut.
No comments:
Post a Comment