Selamat datang, Kali ini kita akan berbagi tentang Cara Menghitung Invers Suatu Matriks. Silahkan dibaca baik-baik tentang Cara Menghitung Invers Suatu Matriks ini ya.
Dari sifat-sifat bilangan real, kita tahu bahwa invers perkalian dari a adalah a–1 = 1/a (a ≠ 0) karena hasil dari a ∙ a–1 dan a–1 ∙ a adalah unsur identitas, yaitu 1. Untuk menunjukkan bahwa terdapat invers yang serupa di dalam matriks, perhatikan matriks persegi A dan sebarang matriks B berikut.
Jika kita dapat menemukan matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I, maka matriks Bmenjadi kandidat utama invers dari A, yang disimbolkan dengan A–1. Pada Contoh 1 berikut kita akan menentukan matriks B yang memenuhi AB = I.
Contoh 1: Menyelesaikan AB = I untuk Menemukan A–1
Untuk,
gunakan perkalian matriks, kesamaan matriks, dan sistem persamaan untuk menentukan semua elemen dari B.
Pembahasan Dengan mengalikan dua matriks yang berada di ruas kiri, kita mendapatkan
Dua matriks dikatakan sama apabila elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks tersebut sama (ditunjukan dengan elemen yang warnanya sama). Sehingga, kita mendapatkan dua sistem persamaan sebagai berikut.
dan,
Pertama, kita selesaikan sistem persamaan yang pertama. Dengan mengalikan satu kepada persamaan pertama dan mengalikan tiga kepada persamaan kedua, kemudian mengurangkannya, kita mendapatkan nilai c sebagai berikut.
Dengan mensubstitusi c = –1 ke dalam persamaan 1 kita mendapatkan
Dengan cara yang serupa untuk menyelesaikan sistem persamaan yang kedua, kita mendapatkan b = –2,5 dan d = 3. Sehingga,
merupakan kandidat utama sebagai invers dari A, atau disimbolkan A–1.
Untuk menentukan apakah A–1 sudah benar-benar ditemukan, kita perlu untuk menguji apakah perkalian dari kanan dan perkalian dari kiri menghasilkan matriks I: AB = BA = I.
Contoh 2: Menguji B = A–1
Dari matriks-matriks pada Contoh 1,
tentukan apakah AB = BA = I.
Pembahasan
Karena AB = BA = I, kita dapat menyimpulkan bahwa B = A–1.
Latihan-latihan yang telah kita kerjakan di atas, menuntun kita ke dalam definisi invers matriks sebagai berikut.
Invers dari Suatu Matriks
Diberikan suatu matriks A dengan ordo n × n, jika ada matriks A–1berorodo n × n sedemikian sehingga A A–1 = A–1A = I, maka A–1 disebut sebagai invers dari matriks A.
Walaupun hanya matriks persegi yang memiliki invers, tetapi tidak semua matriks persegi memiliki invers. Jika invers dari suatu matriks ada, maka matriks tersebut disebutinvertibel. Untuk matriks berordo 2 × 2 yang invertibel, terdapat suatu rumus sederhana untuk menentukan inversnya. Berikut ini rumus untuk menentukan invers dari matriks berordo 2 × 2 tersebut.
Invers dari Matriks 2 × 2Jika,
maka,
dengan syarat ad – bc ≠ 0.
Untuk “menguji” rumus tersebut, perhatikan matriks A pada Contoh 1 dengan a = 6, b = 5,c = 2, dan d = 2.
Pada penerapan matriks dalam kehidupan sehari-hari, sering dijumpai matriks-matriks yang berukuran besar dan elemen-elemnya bukan bilangan bulat. Walaupun cara yang ditunjukkan pada Contoh 1 masih dapat digunakan, tetapi proses tersebut akan sangat memerlukan waktu yang panjang dan menjemukan. Untuk itu, kita akan mendiskusikan cara menentukan invers dari suatu matriks dengan menggunakan Ms. Excel. Perhatikan matriks berikut.
Dengan menggunakan rumus =MINVERSE, kita dapat menentukan invers dari matriks Mdengan mudah. Perhatikan caranya sebagai berikut.
Untuk menguji kebenaran invers tersebut, kita dapat melihat apakah MM–1 = M–1M = I.
No comments:
Post a Comment