Selamat datang, Kali ini kita akan berbagi tentang Persamaan Garis Singgung Lingkaran . Silahkan dibaca baik-baik tentang Persamaan Garis Singgung Lingkaran ini ya.
Sebelum menentukan persamaan garis singgung lingkaran, ada baiknya kita mengingat kembali mengenai sifat-sifat garis singgung lingkaran. Garis singgung lingkaran merupakan garis yang menyinggung suatu lingkaran. Kata kunci dari definisi tersebut adalah “menyinggung”. Apabila suatu garis menyinggung lingkaran, maka garis tersebut tepat melalui satu titik pada lingkaran. Perhatikan beberapa kedudukan garis terhadap lingkaran berikut.
Berdasarkan gambar di atas, kita dapat melihat bahwa garis k tidak memotong lingkaranO, garis l menyinggung lingkaran O di titik A, dan garis m memotong lingkaran O di titik-titik B dan C. Karena suatu garis singgung tepat melalui satu titik pada lingkaran (misalkan titik A), maka garis singgung tersebut akan tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang menghubungkan titik A dengan titik pusat lingkaran. Sifat dari garis singgung tersebut dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung lingkaran.
Menentukan Persamaan Garis Singgung
Pada bagian ini kita akan menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik A(x1,y1) pada lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 = r2, yaitu lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan berjari-jari r. Perhatikan ilustrasi berikut.
Misalkan kita akan menentukan persamaan garis g yang melalui titik A(x1, y1), yaitu titik pada lingkaran x2 + y2 = r2. Karena titik A(x1, y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2 maka,
Selanjutnya kita buat ruas garis OA, yaitu ruas garis yang memiliki ujung-ujung di titik O(pusat lingkaran) dan titik A. Sehingga gradien dari ruas garis tersebut adalah
Karena garis g tegak lurus dengan ruas garis OA, maka
Karena garis g melalui titik A(x1, y1) dan bergradien mg = –x1/y1, maka persamaan garis gdapat ditentukan sebagai berikut.
Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh x1x + y1y = r2. Sehingga, persamaan garis singgung yang melalui satu titik pada lingkaran x2 + y2 = r2 dapat disimpulkan sebagai berikut.
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Persamaan garis singgung yang melalui titik A(x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 = r2 adalah x1x + y1y = r2.
Untuk lebih memahami mengenai persamaan garis singgung lingkaran, perhatikan contoh berikut.
Contoh: Menentukan Persamaan Garis Singgung
Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (2, –3) pada lingkaran x2 + y2 = 13.
Pembahasan Dengan (x1, y1) = =(2, –3) dan x2 + y2 = 13, kita mendapatkan x1 = 2, y1 = –3, dan r2 = 13. Sehingga persamaan garis singgung tersebut adalah
Berikutnya,
kita akan menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik A(x1, y1) pada lingkaran yang berpusat di titik (a, b) dan berjari-jari r. Seperti kita ketahui, persamaan lingkaran yang berpusat di titik (a, b) dan berjari-jari r adalah (x– a)2 + (y – b)2 = r2. Karena titik (x1, y1) terletak pada lingkaran maka,
Untuk mengetahui ilustrasi mengenai letak garis singgung terhadap lingkaran tersebut, perhatikan ilustrasi berikut.
Apabila kita membuat ruas garis PA, yaitu jari-jari dari lingkaran P, maka gradien dari ruas garis tersebut adalah
Karena ruas garis PA merupakan jari-jari yang memiliki salah satu titik ujung di titik A, yaitu titik yang juga dilalui oleh garis singgung k, maka ruas garis PA tegak lurus dengan garis k. Hal ini mengakibatkan,
Karena garis k melalui titik A(x1, y1) dan bergradien mk = –(x1 – a)/(y1 – b), maka persamaan garis k adalah
Apabila kita mensubstitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan di atas, maka kita akan memperoleh,
Sehingga, dari penghitungan di atas kita dapat menyimpulkan persamaan garis singgung yang kita peroleh adalah sebagai berikut.
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (x1, x2) pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 adalah,
(x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2.
Selanjutnya, perhatikan contoh permasalahan mengenai garis singgung lingkaran (x – a)2+ (y – b)2 = r2 berikut.
Contoh 1: Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Tentukan persamaan garis singgung di titik (2, 4) pada lingkaran (x + 4)2 + (y – 5)2 = 37.
Pembahasan Lingkaran yang memiliki persamaan (x + 4)2 + (y – 5)2 = 37 memiliki titik pusat di (a, b) = (–4, 5) dan kuadrat jari-jarinya, r2 = 37. Sehingga persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) = (2, 4) pada lingkaran tersebut adalah
Sehingga, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah 6x – y – 8 = 0.
Selanjutnya bagaimana kalau persamaan lingkarannya tidak ditulis ke dalam bentuk (x –a)2 + (y – b)2 = r2, tetapi ke dalam bentuk persamaan umum lingkaran. Perhatikan contoh soal selanjutnya berikut.
Contoh 2: Garis Singgung untuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 6x + 2y – 3 = 0 di titik yang berabsis 5.
Pembahasan Pertama, kita ubah persamaan x2 + y2 – 6x + 2y – 3 = 0 menjadi bentuk (x– a)2 + (y – b)2 = r2.
Sehingga, lingkaran tersebut memiliki titik pusat di (a, b) = (3, –1) dan kudrat dari jari-jarinya r2 = 13. Selanjutnya kita tentukan titik pada lingkaran tersebut yang berabsis 5. Untuk x = 5, kita memperoleh
Sehingga, titik-titik pada lingkaran tersebut yang berabsis 5 adalah (5, –4) dan (5, 2). Diperoleh, persamaan garis singgung yang melalui titik (5, –3) adalah
Sedangkan persamaan garis singgung yang melalui titik (5, 2) adalah
Jadi, persamaan garis-garis singgungnya adalah 2x – 3y – 22 = 0 dan 2x + 3y – 16 = 0. Perhatikan gambar dari dua garis singgung tersebut.
No comments:
Post a Comment